[SDOI2015]约数个数和 --- 简单反演

求(sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}d(ij))

不知道怎么讲.....

首先考虑(d(ij))究竟是什么

首先，很自然地想到，既然是求(ij)的约数个数

因此就枚举(i,j)的约数

即(d(ij) =sumlimits_{x|i}sumlimits_{y|j}...)

注意到，我们不能重复地统计

我们从唯一分解得形式来考虑

因为多个质因子个和一个质因子的情况是一致的

因此我们考虑一个质因子

假设(i = p^a, j = p^b)且(aleq b)

那么对于(ij = p^{a+b})，它的约数中质因子的取值范围为([0,;;a+b])

如果我们能制定一种规则使得每个质因子取值只与一种(i,j)的质因子方案对应就好了

记当前枚举的(ij)约数为(d)，且(d = p^c = p^{a'+b'})，其中(a')来源于(i)，(b')来源于(j)

注意到，对于([0,;;b])，我们都可以只让(a' = 0, b' = [0,b])来达到

而([b+1,;;a+b])，我们可以只让(a'=[1,a], b' = b)来达到

而(b'=b)相当于(b'=0)(枚举因子的特殊性)

也就是说(a'=0)或(b'=0)时对应一种情况

也就是只要判断([gcd(i, j)=1])即可

因此(d(ij) = sumlimits_{x|i}sumlimits_{y|j} [gcd(x, y)=1])

那么，简单地化下式子，答案就能出现

$sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{j=1}^{m} d(ij) = sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{j=1}^{m} sumlimits_{x|i} sumlimits_{y|j} [gcd(x, y)=1] $

(=sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{j=1}^{m} sumlimits_{x|i} sumlimits_{y|j} sumlimits_{d|x ;and ;d|y} mu(d))

注意到，我们如果先枚举(d)，相当于枚举它的倍数(i, j)，再枚举(i, j)内有多少数含(d)因子

(=sumlimits_{d=1}^{min(n,m)} mu(d)sumlimits_{d|i}^{n} sumlimits_{d|j}^{m} [n/ d][m/d])

预处理(mu)以及某个神奇的函数就可以回答了