笛卡尔树
何为笛卡尔树？
对于一组关系(fa, ls, rs)
满足(pri[fa] geqslant max(pri[ls], pri[rs]))
以及(val[rs] geqslant val[fa] geqslant val[ls])
如何构建笛卡尔树？
按照(val)顺序顺序插入(n)个点
那么，新插入的点一定会插入到最右边(最大)
那么，我们维护最右链
同时，注意到最右链中(pri)单调
因此可以维护一个单调栈，来即时地找到插入位置
void Tree() {
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
pri[i] = rand();
while(top && pri[s[top]] > pri[i])
ls[i] = s[top], top --;
fa[i] = s[top]; fa[ls[i]] = i;
if(fa[i]) rs[fa[i]] = i;
s[++ top] = i;
}
}
建树的方法2
每次选取区间最大值作为根，然后往两边递归也可以建树
直接暴力是(O(n^2))的
线段树优化一下就可以(O(n log n))了
一些常见的题目：
虚树
在一棵树中，把给定点及相关的(lca)求出来后按照原树的构造连接成的树
定理一：
树中(k)个节点之间两两之间不同的(lca)至多有(k - 1)个
证明：使用欧拉序
考虑(dfs)序最大的一条链
按照(dfs)序排序后，我们尝试依次加入点(a)
那么，点(a)要么新开一条链，要么对(dfs)序最大的链产生影响
只要用一个单调栈来维护当前链即可
同时，为了方便，约定退栈连边
具体而言，有以下几种情况
我们假设(v)是栈顶元素，(w)是栈中排第二的元素
(root)是(k)个点中(dfs)序最小的点（即虚树根），(lca)是(v)和(a)的最近公共祖先
假设原链的形式类似于此
第一种情况：
这种情况下，(v)退栈，((v, lca))需要被连接，(lca, a)依次进栈
第二种情况：
(a)直接进栈即可
第三种情况：
(v)退栈，((v, w))连接，(a)进栈
第四种情况：
(v)退栈，((v, w))连接之后情况没有什么变化
(w)成为新的(v)，继续操作直到变为情况1, 3
因此，总结一下步骤
- 先插入虚树根
- 依次插入后(i)个点
- 求出(a)与(v)的(lca)
- 如果(lca = v)，跳到第7步
- 如果(dfn[w] >= dfn[lca])，(v)退栈，((v, w))连接，重复此步骤
- 如果(dfn[w] < dfn[lca]), (v)退栈，((v, lca))连接，(lca)入栈
否则(v)退栈，((v, w))连接- (a)入栈
- 重复第(2)至第(7)步
- 最后处理栈中剩下的最后一条链
给个本人的实现吧....
inline bool cmp(int a, int b) { return dfn[a] < dfn[b]; }
//dfn数组为dfs序，dep数组为节点深度
//h数组存储所有的关键点，总共有K个
//st为栈
void Vitural_Tree {
sort(h + 1, h + K + 1, cmp);
st[top = 1] = 1;
for(ri i = 1; i <= K; i ++) {
int rem = lca(st[top], h[i]);
if(rem == st[top]) { st[++ top] = h[i]; continue; }
while(top > 1 && dep[st[top - 1]] >= dep[rem])
{ link(st[top - 1], st[top]); top --; }
if(dep[st[top]] > dep[rem]) link(rem, st[top]), top --;
if(rem != st[top]) st[++ top] = rem;
if(h[i] != st[top]) st[++ top] = h[i];
}
while(top > 1) link(st[top - 1], st[top]), top --;
}
虚树题目的显著特征：(sum k leq 3 * 10^5)（当然有的时候并不是）
PKUWC2019 你和虚树的故事（不知道什么时候公开呢....）
有关虚树的扩展
虚树套数据结构：
动态维护虚树信息：
真.动态虚树：（也可能是个假的