最大子矩阵和

前言：

今天花了很长时间，看了无数人写的帖子，但是几乎没有人把这个问题一下子说得很清楚，所以，我把这个问题按照自己的思路写出来，希望能够把这个问题讲清楚。

问题：

求一个M*N的矩阵的最大子矩阵和。
比如在如下这个矩阵中：
 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 
拥有最大和的子矩阵为：
 9 2
-4 1
-1 8
其和为15。

思路：

首先，这个子矩阵可以是任意大小的，而且起始点也可以在任何地方，所以，要把最大子矩阵找出来，我们要考虑多种情况。

假定原始矩阵的行数为M，那么对于子矩阵，它的行数可以是1到M的任何一个数，而且，对于一个K行（K < M）的子矩阵，它的第一行可以是原始矩阵的第1行到 M - K + 1 的任意一行。

例子：

对于上面的矩阵，如果子矩阵的行数是2，那么它可以是下面几个矩阵的子矩阵：

 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2

或者

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1

或者

-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

在每一种情况里（我们这里有三种），我们还要找出一个最大的子矩阵，当然，这只是一种情况的最大子矩阵（局部最大），不一定是global最大。但是，如果我们知道每一种情况的最大，要找出global最大，那就小菜一碟儿了。

在讲在一个特殊情况下求最大子矩阵之前，先讲一个事实：

假设这个最大子矩阵的维数是一维，要找出最大子矩阵, 原理与求“最大子段和问题” 是一样的。最大子段和问题的递推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是从0开始到j的最大子段和。

例子：

假设原始矩阵为：[9，  2， -6，  2]， 那么b[] = {9, 11, 5, 7}, 那么最大字段和为11， 如果找最大子矩阵的话，那么这个子矩阵是 [9， 2] 

求最大子段和的代码如下：

public int maxSubsequence(int[] array) {
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        int[] maxSub = new int[array.length];
        maxSub[0] = array[0];

        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i];
            if (max < maxSub[i]) {
                max = maxSub[i];
            }
        }
        return max;
    }

但是，原始矩阵可以是二维的。假设原始矩阵是一个3 * n 的矩阵，那么它的子矩阵可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。 如果是1*K，这里有3种情况：子矩阵在第一行，子矩阵在第二行，子矩阵在第三行。如果是 2 * k，这里有两种情况，子矩阵在第一、二行，子矩阵在第二、三行。如果是3 * k，只有一种情况。

为了能够找出最大的子矩阵，我们需要考虑所有的情况。假设这个子矩阵是 2 *k, 也就是说它只有两行，要找出最大子矩阵，我们要从左到右不断的遍历才能找出在这种情况下的最大子矩阵。如果我们把这两行上下相加，情况就和求“最大子段和问题” 又是一样的了。

为了找出在原始矩阵里的最大子矩阵，我们要遍历所有的子矩阵的可能情况，也就是说，我们要考虑这个子矩阵有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一种情况下，我们都要把它所对应的矩阵部分上下相加才求最大子矩阵（局部）。

比如，假设子矩阵是一个3*k的矩阵，而且，它的一行是原始矩阵的第二行，那么，我们就要在

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

里找最大的子矩阵。

如果把它上下相加，我们就变成了 4, 11, -10,1， 从这个数列里可以看出，在这种情况下，最大子矩阵是一个3*2的矩阵，最大和是15.

为了能够在原始矩阵里很快得到从 i 行到 j 行 的上下值之和，我们这里用到了一个辅助矩阵，它是原始矩阵从上到下加下来的。

假设原始矩阵是matrix, 它每一层上下相加后得到的矩阵是total，那么我们可以通过如下代码实现：

int[][] total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
    for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
    total[i][j] += total[i-1][j];
    }
}

如果我们要求第 i 行到第 j 行之间上下值的和，我们可以通过total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的范围从1 到 matrix[0].length - 1。

有了这些知识点，我们只需要在所有的情况下，把它们所对应的局部最大子矩阵进行比较，就可以得到全局最大的子矩阵。代码如下：

public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {

        int[][] total = matrix;
        for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
                total[i][j] += total[i-1][j];
            }
        }

        int maximum = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = i; j < matrix.length; j++) {
                //result 保存的是从 i 行 到第 j 行 所对应的矩阵上下值的和
                                int[] result = new int[matrix[0].length];
                for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {
                    if (i == 0) {
                        result[f] = total[j][f];
                    } else {
                        result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];
                    }
                }
                int maximal = maxSubsequence(result);

                if (maximal > maximum) {
                    maximum = maximal;
                }
            }
        }

        return maximum;
    }