二分搜索算法

Table of Contents

1. 前言
2. 中点值计算
3. 搜索区间与终止条件
4. 等于某值
5. 第一个不小于
6. 第一个大于
7. 最后一个不大于和最后一个小于
8. 结尾
9. 参考链接

前言

曾经一度觉得二分搜索算法是一个比较简单的算法，直到我看到了这样一些问题：

• 查找一个已排序序列中第一个不小于某个值的元素
• 查找一个已排序序列中最后一个不大于某个值的元素
• 查找一个已排序序列中第一个大于某个值的元素
• 查找一个已排序序列中最后一个小于某个值的元素

很明显，这些问题都是可以通过二分搜索算法解决的，然而当我准备开始写的时候，才发现，我不能很好的把它们写出来。

或者说，我只知道怎么解决：查找一个已排序序列中等于某个值的元素。

中点值计算

二分搜索算法是一个很细节的算法，中点值的计算就是其需要注意的一个地方。

通常情况下，中点值的计算是这样的：

int mid = (left + right) / 2;

如果对二分搜索算法有一定的了解，应该知道，这样的计算可能存在溢出的问题，即：left 和 right 的和可能超出 int 类型的取值范围。

因此，中点值的计算应该用如下算式替代：

int mid = left + (right - left) / 2;

然而，中点值的计算也存在一个隐含的条件：向下取整，也就是说，我们平时写的二分搜索算法的中点值都是向 左边界 接近的。

所以说，以下两者是等价的：

int mid = (left + right) / 2;
int mid = left + (right - left) / 2;

当然了，既然存在向下取整的写法，自然也存在向上取整的写法，只不过平时我们不怎么用罢了，而这篇博客也不做讨论，
不过还是给出中点值向上取整的写法：

int mid = ceil((left + right) / 2);
int mid = right - (right - left) / 2;

搜索区间与终止条件

很明显，二分搜索算法的搜索区间存在四种选择： [left, right], [left, right), (left, right], (left, right).

这里不会讨论所有这四种区间，只讨论其中的两种： [left, right] 和 [left, right) 以及对应的终止条件选择。

• 首先是区间 [left, right], 很明显搜索这个区间时应该包括左右两端的值。

  同时，我们又了解到一般情况下，中点值的计算时向左边界接近的，因此，我们不需要担心无法搜索到左边界，
  只需要考虑怎么能够搜索到右边界。

  在中点值是向下取整的情况下，很明显，只有当 left 和 right 相等的时候，我们才能搜索到右边界，因此，循环的终止条件应该为：

  while (left <= right) {
    ...
  }
  

• 然后是区间 [left, right), 有了前面的基础，我们可以很快的反应过来，右边界是不需要的，因此，我们只需要将终止条件修改为：

  while (left < right) {
    ...
  }
  

  由于中点值的计算是向下取整的，而 left 和 right 相等的时候就会退出循环，所以可以保证不会使中点值和右边界值相等。

等于某值

查找一个已排序序列中等于某个值的元素是很简单的，这里就直接给出代码好了：

int bsearch(arr, left, right, target) {
  while (left <= right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (arr[mid] == target) {
      return mid;
    } else if (arr[mid] > target) {
      right = mid - 1;  // [left, mid - 1]
    } else {
      left = mid + 1;   // [mid + 1, right]
    }
  }
  return -1;
}

这个实现是针对区间 [left, right] 而言的，需要注意的地方是 搜索区间的缩减：

• 当中点值大于目标值时，说明区间 [mid, right] 内的元素都是我们不需要的，
  因此，执行的操作是： right = mid - 1.

• 相应的，当中点值小于目标值时，说明区间 [left, mid] 内的元素都是我们不需要的，
  因此，执行的操作是： left = mid + 1.

这里需要重点关注的是由边界值的变化，因为搜索的区间是 [left, right], 因此，当中点值不需要时，
可以让右边界值直接等于中点值减一。

但是，这对于区间 [left, right) 来说就不一样了：

int bsearch(arr, left, right, target) {
  while (left < right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (arr[mid] == target) {
      return mid;
    } else if (arr[mid] > target) {
      right = mid;     // [left, mid)
    } else {
      left = mid + 1;  // [mid + 1, right])
    }
  }
  return -1;
}

在这种情况下，中点值大于目标值，说明区间 [mid, right] 内的元素都是我们不需要的，但是，
mid - 1 还是需要等待判断的。

因此，右边界值被修改为 mid 而不是 mid - 1.

第一个不小于

从这里开始就只讨论区间 [left, right) 的写法了，对于区间 [left, right], 有兴趣的可以去研究一下。

有了前面的基础，中点值的计算和终止条件的选择都不是什么问题了，因此，目前最大的问题就是搜索区间的修改问题。

搜索区间的修改是根据中点值和搜索区间的开闭性来确定的，而区间的开闭性已经确定了，因此，现在需要考虑的是中点值的问题。

中点值的可能情况：

1. 小于目标值，我们的目标是不小于目标值，因此，包括中点值在内的元素都不在我们的搜索范围内
2. 等于目标值，此时，中点值左侧可能同样存在等于目标值的元素，因此，不能贸然修改左值，那么，修改右值？
3. 大于目标值，情况和等于目标值类似

综合上面三种情况来看，当中点值小于目标值时的处理很简单，直接修改左边界就可以了，但是对于中点值大于等于目标值时，
是不能轻率的修改左边界的，因此，只能考虑修改右边界。

此时，中点值有可能就是我们要的答案，因此，不可能将右边界修改为 mid - 1, 那么，我们需要要将右边界修改为 mid + 1 吗？

这里我们可以用一个简单的程序来测试一下：

seq = [2 for i in range(10)]
left, right = 0, len(seq)
while left < right:
    mid = left + (right - left) // 2
    if seq[mid] < 2:
        left = mid + 1
    else:
        right = mid + 1
    print(right)

测试程序的输出为：

6 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2......

这是一个无限死循环，因为终止条件是 left < right，而中点值的计算是趋向于左边界的，此时，如果将右边界修改为 mid + 1, 那么问题就变成了：

seq[left] = seq[left + 1] = target;
right = left + 1;
mid = left + (right - left) / 2 = left + 1 / 2 = left;
right = mid + 1 = left + 1;

因此，在这种情况下，我们只能将右边界修改为 mid, 在这种情况下：

• 假如右边界就是我们的目标，那么，右边界往左的所有元素都不是我们需要的，这就会使得做边界不断往右边界靠近，直到触发终止条件
• 假如左边界才是我们的目标，那么，右边界就会不断往左边界靠近，直到触发终止条件

最后，我们的实现如下：

int lower_bound(arr, left, right, target) {
  while (left < right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (arr[mid] < target) {
      left = mid + 1;  // [mid + 1, right)
    } else {
      right = mid;     // [left, mid)
    }
  }
  return left;
}

最最后，在来考虑以下两种情况：

1. 目标值比序列中的所有值都小，此时，左边界就是我们的结果，因为左边界的值已经不小于目标值
2. 目标值比序列中的所有值都大，此时，左边界会不断逼近右边界，这个右边界是不属于我们的搜索区间的，
   因此，当返回值等于右边界值时，说明找不到目标值

简单来说，只要返回值比右边界值小，那么结果都是成立的。

第一个大于

前面考虑了第一个不小于的情况，这里再来考虑第一个大于就容易多了，核心依然是搜索区间的修改。

很明显，当中点值小于等于目标值时，区间 [left, mid] 都不是我们需要的，直接将左边界修改为 mid + 1 就可以了，
右边界的修改和前面一样，因此，这里的实现只需要将前面的代码改动一点点就可以了：

int upper_bound(arr, left, right, target) {
  while (left < right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (arr[mid] <= target) {
      left = mid + 1;  // [mid + 1, right)
    } else {
      right = mid;     // [left, mid)
    }
  }
  return left;
}

对，没错，只需要将中间的判断条件 < 改成 <= 就可以了，使用上和前面的那个也是一样的。

最后一个不大于和最后一个小于

这两个的实现可以取个巧，首先我们可以研究一下前面两个实现返回的结果的情况：

// arr[result] >= target
// arr[result - 1] < target
int lower_bound(arr, left, right, target) {
  ...
}

// arr[result] > target
// arr[result - 1] <= target
int upper_bound(arr, left, right, target) {
  ...
}

很明显，最后一个不大于的意思就是：

arr[result] <= target
arr[result + 1] > target

这一点和第一个大于的返回结果很相似，因此，最后一个不大于可以借助第一个大于来实现：

int result = upper_bound(arr, left, right, target) - 1;

如果结果为 -1 说明目标值就不存在。

最后一个小于也是一样的道理：

int result = lower_bound(arr, left, right, target) - 1;

结尾

二分搜索算法真的是一个很细节的算法，各种实现之间的区别都不大，很多就是加一减一这种程度的区别，
但不注意还容易搞错。

对此，我只想说，$*#&*@#^&…

参考链接

• 二分查找有几种写法？它们的区别是什么？ - Jason Li 的回答
• Binary search algorithm - Wikipedia