《Mathematical Olympiad——数论》——整除

  数论这个东西吧，虽说也是高中IMOer玩的数学游戏，颇具美学性的证明比较多。就目前所知，它在算法里是一些加密技术的基础，不多言，开始具体题目的分析。

  问题一：已知数列{an},且a0 = 2 , a1 = 1 , a(n+1) = an + a(n-1)，证明：若p为a(2k) - 2的素因子，则p也为a(2k+1) - 1的素因子。

  分析：通过已知条件，有p | (a(2k) - 2) , 联系其递推式，则有p | {[a(2k+1)-1] - [a(2k-1)+1]}。接下来的部分解释考验数学观察力的时候了，通过计算an各项，我们会归纳出递推式的另外形式——a(2k-1)a(ak+1) = a(2k)^2 - 5。

  ∴[a(2k+1)-1] * [a(2k-1)+1] = a(2k)^2 - 6 + a(2k+1) - a(2k-1)

                                               =a(2k)^2 +a(2k) - 6

                                               = [a(2k) - 2][a(2k)+3]

  ∵p | (a(2k) - 2)

  ∴p | [a(2k+1)-1] * [a(2k-1)+1]

  又∵p | {[a(2k+1)-1] - [a(2k-1)+1]}

  ∴p | a(2k+1)-1  且 p |  a(2k-1)+1

  证毕。