费氏搜寻法之算法分析与实现

费氏搜寻法简介

费氏搜寻法，就是利用斐波那契数列从有序数列中搜寻特定元素的一种搜索算法。

二分搜寻法每次搜寻时，都会将搜寻区间分为一半，所以其搜寻时间为O(log(2)n)，log(2)表示以2为底的log值，这边要介绍的费氏搜寻，其利用费氏数列作为间隔来搜寻下一个数，所以区间收敛的速度更快，搜寻时间为O(logn)。

费氏搜寻法算法分析

费氏搜寻使用费氏数列来决定下一个数的搜寻位置，所以必须先制作费氏数列，这在之前有提过；费氏搜寻会先透过公式计算求出第一个要搜寻数的位置，以及其代 表的费氏数，以搜寻对象10个数字来说，第一个费氏数经计算后一定是F5，而第一个要搜寻的位置有两个可能，例如若在下面的数列搜寻的话（为了计算方便， 通常会将索引0订作无限小的数，而数列由索引1开始）：

-infin; 1 3 5 7 9 13 15 17 19 20

如果要搜寻5的话，则由索引F5 = 5开始搜寻，接下来如果数列中的数小于指定搜寻值时，就往左找，大于时就向右，每次找的间隔是F4、F3、F2来寻找，当费氏数为0时还没找到，就表示寻找失败，如下所示：

由于第一个搜寻值索引F5 = 5处的值小于19，所以此时必须对齐数列右方，也就是将第一个搜寻值的索引改为F5+2 = 7，然后如同上述的方式进行搜寻，如下所示：

至于第一个搜寻值是如何找到的？我们可以由以下这个公式来求得，其中n为搜寻对象的个数：

F_x + m = n

F_x <= n

也就是说Fx必须找到不大于n的费氏数，以10个搜寻对象来说：

F_x + m = 10

取F_x = 8, m = 2，所以我们可以对照费氏数列得x = 6，然而第一个数的可能位置之一并不是F6，而是第x-1的费氏数，也就是F₅ = 5。

如果数列number在索引5处的值小于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置就是索引5的位置，如果大于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置必须加上m，也就是F₅ + m = 5 + 2 = 7，也就是索引7的位置，其实加上m的原因，是为了要让下一个搜寻值刚好是数列的最后一个位置。

费氏搜寻看来难懂，但只要掌握F_x + m = n这个公式，自己找几个实例算一次，很容易就可以理解；费氏搜寻除了收敛快速之外，由于其本身只会使用到加法与减法，在运算上也可以加快。

费氏搜寻法的实现

#define MAX 15
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;}

void createfib(void);               // 建立费氏数列
int findx(int);                     // 找x值
int fibsearch(int[], int);          // 费氏搜寻
void quicksort(int[], int, int);    // 快速排序

int Fib[MAX] = {-999};

//主程序（C/OC）
int number[MAX] = {0};
int i, find;

srand(time(NULL));

for(i = 1; i <= MAX; i++) {     //产生随机数列
    number[i] = rand() % 10;
}

quicksort(number, 1, MAX);      //快速排序

printf("数列：");                //打印排序后的数列
for(i = 1; i <= MAX; i++)
    printf("%d ", number[i]);
find = 6;                      //要寻找的对象
if((i = fibsearch(number, find)) >= 0)
    printf("找到数字于索引 %d ", i);
else
    printf("
找不到指定数");

printf("
"); 

//建立费氏数列，总共求得MAX+1个斐波那契数
void createfib(void) {
    int i;
    Fib[0] = 0;
    Fib[1] = 1;
    
    for(i = 2; i < MAX; i++)
        Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
}

//找x值
int findx(int n) {
    int i = 0;
    while(Fib[i] <= n)
        i++;
    i--;
    return i;//找到第i个Fib元素小于等于MAX+1
}

//费式搜寻
int fibsearch(int number[], int find) {
    int i, x, m;
    
    createfib();                    //创建斐波那契数列
    
    x  = findx(MAX+1);              //斐波那契数列中第x个数刚好不大于MAX+1。MAX是确定的，所以比较的起始点是确定的。
    m = MAX - Fib[x];               //得到一个较小的差值。m的值也是确定的。
    printf("
x = %d, m = %d, Fib[x] = %d

",
           x, m, Fib[x]);
    
    x--;
    i = x;
    
    if(number[i] < find)            //i的初值也是确定的。PS：这就是公式的力量
        i += m;
    
    while(Fib[x] > 0) {             //搜寻，x值不断减小，范围越来越小，搜寻越来越精细
        if(number[i] < find)        //小于被搜寻的值
            i += Fib[--x];          //右移搜寻位置
        else if(number[i] > find)   //大于被搜寻值
            i -= Fib[--x];          //左移搜寻位置
        else
            return i;               //相等，找到
    }
    return -1;                      //搜寻步子已经最小，还是没找到，搜寻结束
}

//快速排序
void quicksort(int number[], int left, int right) {
    int i, j, k, s;
    
    if(left < right) {
        s = number[(left+right)/2];
        i = left - 1;
        j = right + 1;
        
        while(1) {
            while(number[++i] < s) ;        // 向右找
            while(number[--j] > s) ;        // 向左找
            if(i >= j)
                break;
            SWAP(number[i], number[j]);
        }
        
        quicksort(number, left, i-1);       // 对左边进行递回
        quicksort(number, j+1, right);      // 对右边进行递回
    } 
}