费氏搜寻法简介
费氏搜寻法,就是利用斐波那契数列从有序数列中搜寻特定元素的一种搜索算法。
二分搜寻法每次搜寻时,都会将搜寻区间分为一半,所以其搜寻时间为O(log(2)n),log(2)表示以2为底的log值,这边要介绍的费氏搜寻,其利用费氏数列作为间隔来搜寻下一个数,所以区间收敛的速度更快,搜寻时间为O(logn)。
费氏搜寻法算法分析
费氏搜寻使用费氏数列来决定下一个数的搜寻位置,所以必须先制作费氏数列,这在之前有提过;费氏搜寻会先透过公式计算求出第一个要搜寻数的位置,以及其代 表的费氏数,以搜寻对象10个数字来说,第一个费氏数经计算后一定是F5,而第一个要搜寻的位置有两个可能,例如若在下面的数列搜寻的话(为了计算方便, 通常会将索引0订作无限小的数,而数列由索引1开始):
-infin; 1 3 5 7 9 13 15 17 19 20
如果要搜寻5的话,则由索引F5 = 5开始搜寻,接下来如果数列中的数小于指定搜寻值时,就往左找,大于时就向右,每次找的间隔是F4、F3、F2来寻找,当费氏数为0时还没找到,就表示寻找失败,如下所示:
由于第一个搜寻值索引F5 = 5处的值小于19,所以此时必须对齐数列右方,也就是将第一个搜寻值的索引改为F5+2 = 7,然后如同上述的方式进行搜寻,如下所示:
至于第一个搜寻值是如何找到的?我们可以由以下这个公式来求得,其中n为搜寻对象的个数:
Fx + m = n
Fx <= n
也就是说Fx必须找到不大于n的费氏数,以10个搜寻对象来说:
Fx + m = 10
取Fx = 8, m = 2,所以我们可以对照费氏数列得x = 6,然而第一个数的可能位置之一并不是F6,而是第x-1的费氏数,也就是F5 = 5。
如果数列number在索引5处的值小于指定的搜寻值,则第一个搜寻位置就是索引5的位置,如果大于指定的搜寻值,则第一个搜寻位置必须加上m,也就是F5 + m = 5 + 2 = 7,也就是索引7的位置,其实加上m的原因,是为了要让下一个搜寻值刚好是数列的最后一个位置。
费氏搜寻看来难懂,但只要掌握Fx + m = n这个公式,自己找几个实例算一次,很容易就可以理解;费氏搜寻除了收敛快速之外,由于其本身只会使用到加法与减法,在运算上也可以加快。
费氏搜寻法的实现
#define MAX 15 #define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void createfib(void); // 建立费氏数列 int findx(int); // 找x值 int fibsearch(int[], int); // 费氏搜寻 void quicksort(int[], int, int); // 快速排序 int Fib[MAX] = {-999};
//主程序(C/OC) int number[MAX] = {0}; int i, find; srand(time(NULL)); for(i = 1; i <= MAX; i++) { //产生随机数列 number[i] = rand() % 10; } quicksort(number, 1, MAX); //快速排序 printf("数列:"); //打印排序后的数列 for(i = 1; i <= MAX; i++) printf("%d ", number[i]); find = 6; //要寻找的对象 if((i = fibsearch(number, find)) >= 0) printf("找到数字于索引 %d ", i); else printf(" 找不到指定数"); printf(" ");
//建立费氏数列,总共求得MAX+1个斐波那契数 void createfib(void) { int i; Fib[0] = 0; Fib[1] = 1; for(i = 2; i < MAX; i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2]; } //找x值 int findx(int n) { int i = 0; while(Fib[i] <= n) i++; i--; return i;//找到第i个Fib元素小于等于MAX+1 } //费式搜寻 int fibsearch(int number[], int find) { int i, x, m; createfib(); //创建斐波那契数列 x = findx(MAX+1); //斐波那契数列中第x个数刚好不大于MAX+1。MAX是确定的,所以比较的起始点是确定的。 m = MAX - Fib[x]; //得到一个较小的差值。m的值也是确定的。 printf(" x = %d, m = %d, Fib[x] = %d ", x, m, Fib[x]); x--; i = x; if(number[i] < find) //i的初值也是确定的。PS:这就是公式的力量 i += m; while(Fib[x] > 0) { //搜寻,x值不断减小,范围越来越小,搜寻越来越精细 if(number[i] < find) //小于被搜寻的值 i += Fib[--x]; //右移搜寻位置 else if(number[i] > find) //大于被搜寻值 i -= Fib[--x]; //左移搜寻位置 else return i; //相等,找到 } return -1; //搜寻步子已经最小,还是没找到,搜寻结束 } //快速排序 void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, k, s; if(left < right) { s = number[(left+right)/2]; i = left - 1; j = right + 1; while(1) { while(number[++i] < s) ; // 向右找 while(number[--j] > s) ; // 向左找 if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } quicksort(number, left, i-1); // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right); // 对右边进行递回 } }