hdu5322 Hope(dp+FFT+分治)

hdu5322 Hope(dp+FFT+分治)

hdu

题目大意：n个数的排列，每个数向后面第一个大于它的点连边，排列的权值为每个联通块大小的平方，求所有排列的权值和。

思路：

考虑直接设dp[i]表示n=i时的答案。

我们考虑放完前n-1个数之后再插入n，会发现n前面所有数都和它联通。

于是dp方程就出来了：

$dp[n]=Sigma(dp[n-k]*k^{2}*(k-1)!*C_{n-1}^{k-1})$

组合数倒腾过来变成：

$frac{dp[n]}{(n-1)!}=Sigma(frac{dp[n-k]}{(n-k)!}*k^{2})$

分治FFT搞定。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long lint;
const lint mo=998244353;
const int N=600069;
lint fpow(lint a,lint p)
{
    lint ret=1;
    while(p)
    {
        if(p&1ll) (ret*=a)%=mo;
        (a*=a)%=mo;
        p>>=1;
    }
    return ret;
}
lint fac[N],ifac[N],i2[N];
lint dp[N];

int inv[N];
lint wg[N],iwg[N];
void ntt(lint *a,int len,int tp)
{
    lint ilen=fpow(len,mo-2);
    for(int i=0;i<len;i++) if(i<inv[i]) swap(a[i],a[inv[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        lint w0=(~tp)?wg[i]:iwg[i];
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            lint w=1;
            for(int k=0;k<i;k++,(w*=w0)%=mo)
            {
                lint w1=a[j+k],w2=w*a[j+k+i]%mo;
                a[j+k]=(w1+w2)%mo,a[j+k+i]=(w1-w2+mo)%mo;
            }
        }
    }
    if(tp==-1) for(int i=0;i<len;i++) (a[i]*=ilen)%=mo;
}
lint a[N],b[N],c[N];
void cdq(int l,int r)
{
    if(l==r) {(dp[l]*=(l?fac[l-1]:1))%=mo;return;}
    int mm=l+r>>1;
    cdq(l,mm);
    int len=1,pl=0,n=r-l+1;
    while(len<=n) len<<=1,pl++;
    for(int i=1;i<len;i++) inv[i]=(inv[i>>1]>>1)|((i&1)<<(pl-1));
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<mm-l+1;i++) a[i]=dp[i+l]*ifac[i+l]%mo;
    for(int i=0;i<r-l+1;i++) b[i]=i2[i];
    ntt(a,len,1),ntt(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mo;
    ntt(c,len,-1);
    for(int i=mm+1;i<=r;i++) (dp[i]+=c[i-l])%=mo;
    cdq(mm+1,r);
}


int xi,T;
int main()
{
    fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=100000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mo,ifac[i]=fpow(fac[i],mo-2),i2[i]=1ll*i*i%mo;
    for(int i=1;i<524288;i<<=1) wg[i]=fpow(3,(mo-1)/(i<<1)),iwg[i]=fpow(wg[i],mo-2);
    dp[0]=1;
    cdq(0,100000);
    while(scanf("%d",&xi)!=EOF) printf("%lld
",dp[xi]);
    return 0;
}