知识点简单总结——原根和指标

知识点简单总结——原根和指标

本文作者太菜所以基本不会写各种定理的证明，要看证明的话推荐 ldysy2012的文章

阶

仅对于 ((a,m)=1) ，求得最小的正整数 $ x $ 使 $ a^{x} equiv 1 (mod m) $ ，记作 $ ord_{m}a $。

性质

1. $ ord_{m}a | phi (m) $ , 由 $ a^{phi (m)} equiv 1 (mod m) $ 易证。

2. $ a equiv b (mod m),(a,m)=1 $，则有 $ ord_{m}a=ord_{m}b $。

3. 设 $ (a,m)=1 $ ,那么 $ a^x equiv a^y pmod{m} $ 的充要条件为 $ x equiv y pmod{ord_ma} $。
   证明：改写成 $ a^{x-y} equiv 1 pmod{m} $。

4. $ a^1 , a^2 ,...,a^{ord_{m}a} $ 取模 $ m $ 的值互不相同。（不然就不是最小周期了）

5. $ ab equiv 1 pmod m o ord_ma=ord_mb $ 。

6. $ (a,m)=1 o ord_{m}a^{i}=frac{ord_{m}a}{(i,ord_{m}a)} $ 。

7. $ n|m o ord_na|ord_ma $ 。

8. $ (m,n)=1,(a,mn)=1 o ord_{mn}a=[ord_ma,ord_na] $ 。

9. $ (ab,m)=1,(ord_ma,ord_mb)=1 o ord_mab=ord_ma*ord_mb $ 。

10. $ (a,m)=1 , a>1 o k in Z^+ , ord_{p^{k+1}} a=ord_{p^{k}} a 或 p*ord_{p^{k}}a $ 。
    这个是咱在改题时发现的奇怪问题
    然后被ldysy2012秒证了orz

简单证明有空再补，大概上面也会精简一点。

原根

原根有点类似于正常数学（？）中的自然对数 $ e $ 。

所以我们在这里找到的类似于 $ e $ 的东西 $ g $ 它要满足能表示所有能表示的数。

若 $ g $ 为 $ m $ 原根，则有 $ gcd(g,m)=1,ord_mg=phi(m) $。

性质

1. $ g , g^2 , g^3 , …… g^{phi(m)} $ 组成 $ m $ 的一个既约剩余系，更准确点说，它能表示所有与 $ m $ 互质的数。

2. 仅当 $ m=2 , 4 , p^x , 2∗p^x $ 时有原根（ $ p $ 为质数）

3. 若 $ m $ 有原根，那么其恰好有 $ phi ( phi (m)) $ 个在模 $ m $ 意义下不同的原根（阶的性质六）。

求原根

一般求原根只需要最小的那个

而这个原根确实会很小

将 $ phi(n) $ 分解质因数后

判断 $ g $ 满足 $ forall i,g^{frac{phi (n)}{p_{i}}} e 1 (mod n) $ 即可

指标

又叫离散对数。

字面意思就是个对数。

上面说过 $ g $ 的不同次幂组成 $ n $ 的既约剩余系，

设为 $ ind $ ，满足 $ ind(g^x)=x $。

较小的暴力求，较大的上BSGS。

一些有趣的东西

在某一天模拟赛改题时发现题解里说要求 $ ind $ 标程里却只求了 $ ord $。。。

然后发现了： $ ind_{m}a*ord_{m}a equiv 0 (mod phi (m))$。。。。。。

其中 $ ord_{m}a | phi (m) $ ，所以可以表示 $ ind_{m}a = s*frac{phi(m)}{ord_{m}a} $ 。

其中 $ s $ 与 $ ord_{m}a $能保证互质，但我还(bu)没(hui)细证。

看出二者之间可能在一定条件下可以相互转换。

比如 $ gcd ( ind , phi ) $

$ = gcd ( s * frac{ phi }{ ord } , phi ) $

$ = frac{ phi }{ ord } $

也许在特定题中会很有用？因为求 $ ord $ 不比 $ ind $ 方便多了嘛

总结

并没有总结这种东西，

来看看相关水题吧

uoj86 mx的组合数

BZOJ2219 数论之神

我错了不要打我嘤嘤嘤