知识点简单总结——单位根反演
闲话
传统艺能放送，
咱就是个数学知识点看多少次都记不住的屑。
单位根反演
就是一个式子：
[[ n | k ] = sumlimits_{ i = 0 }^{ n - 1 } omega_{ n }^{ ik }
]
证明很简单：
整除时， $ omega_{ n }^{ ik } = 1 $ 。
否则，等比数列求和 $ frac{ 1 }{ n } frac{ omega_{ n }^{ k } * omega_{ n }^{ (n-1)k } - omega_{ n }^{ 0 } }{ omega_{ n }^{ k } -1 } = 0 $ 。
应用
数学推导
例：求 $ sumlimits_{ i = 0 }^{ lfloor frac{ n }{ k } floor } [ x^{ ik } ] f(x) $ 。
[egin{aligned}
sumlimits_{ i = 0 }^{ lfloor frac{ n }{ k }
floor } [ x^{ ik } ] f(x)
& = sumlimits_{ i = 0 }^{ n } [ k | i ] [ x^{ i } ] f(x) \
& = sum_{ i = 0 }^{ n } [ x ^ i ] f(x) frac{ 1 }{ k } sumlimits_{ j = 0 }^{ k - 1 }omega_{ k }^{ ji } \
& = frac{ 1 }{ k }sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } sum_{ j = 0 }^{ k - 1 } omega_{ k }^{ ij } \
& = frac{ 1 }{ k }sum_{ j = 0 }^{ k - 1 } sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i }(omega_{ k }^{ j })^{ i } \
& = frac{ 1 }{ k }sum_{ j = 0 }^{ k - 1 } f( omega_{ k }^{ j } )
end{aligned}
]
k进制FWT的推导
留个坑，之后的知识点总结会写。
例题
bzoj3328 PYXFIB
loj6485 LJJ 学二项式定理