知识点简单总结——FWT(快速沃尔什变换),FST(快速子集变换)
闲话
博客园的markdown也太傻逼了吧。
快速沃尔什变换
位运算卷积
形如 $ f[ i ] = sumlimits_{ j oplus k = i} g[ j ] * h[ k ] $ 的形式的式子。
正常计算是 $ n^{ 2 } $ 。
与运算卷积
众所周知有 $ ( i & j ) == k longleftrightarrow ( i & k == k ) & & ( j & k == k ) $ 。
考虑构造 $ F( i ) = sumlimits_{ j & i == i } f( j ) $ 。
由上述结论容易推导得 $ F( i ) = G( i ) * H( i ) $ 。
将 $ f $ 正变换为 $ F $ 的方法：
由于 $ F $ 为父集和，考虑从低到高对于每一位，每次考虑仅有这一位不同的两个数，将该位为1的元素加到对应只有该位不同为0的元素上。
逆变换则是按照相同顺序每次从某一位为0的元素减去该位对应为1的元素。
或运算卷积
上述结论对或运算依然成立即 $ ( i | j ) == k longleftrightarrow ( i | k == k ) & & ( j | k == k ) $ 。
同样构造 $ F( i ) = sumlimits_{ j | i == i } f( j ) $ 。
正变换与与运算相似，不过是为将该位为0的元素加到该位为1的元素上，逆变换反之。
异或运算卷积
有结论 $ bitcount( i & k ) oplus bitcount ( j & k ) ext{的奇偶} == bitcount( ( i oplus j ) & k ) ext{的奇偶} $ 。
构造 $ F( i ) = sumlimits_{j} ( -1 )^{ bitcount( j & i ) } f( j ) $ ，借助上述结论证明。
正变换依然从低到高位考虑每一对仅有对应位不同的两个数，
仅用0和1进行与运算，只有 $ 1 & 1 = 1 $ ，其余均为0，
也就是说只有这一种运算改变奇偶性。
所以每次变换有 $ a = a + b , b = a - b $ 。
逆运算重新计算回去就是 $ a = frac{ a + b }{2} , b = frac{ a - b }{2} $ 。
快速子集变换
在DP问题中经常会有 $ f[ i ] = sumlimits_{ j subseteq i } g[ j ] * h[ i - j ] $ 一类的式子。
直接枚举子集是 $ 3^{ n } $ 。
把上式转换为 $ f[ i ] = sumlimits_{ j | k == i , j & k == 0} g[ j ] * h[ k ] $ 。
为了避免集合相交，考虑增加一维变成 $ f[c][i] $ ， $ c $ 代表集合大小（ $ 1 $ 的个数），仅在对应正确集合大小的时候某一位才有值。
然后直接或卷积就好了。
k进制异或卷积
考虑在上述二进制异或卷积中所使用的运算
二进制异或相当于二进制下不进位加法。
二进制与相当于二进制下不进位乘法。
$ bitcount $ 也可以同理推论。
因此我们用这个定义将其扩展到k进制。
之后考虑二进制卷积中 $ -1 $ 的含义。
异或卷积这玩意是有点类似循环卷积的。
所以我们可以想到利用单位根。
用类似方法就能求出对应k进制下的变换。
或者证不明白直接背个简单结论就行了：
$ j $ 对 $ i $ 的正贡献为 $ f_{ i , j } = omega_{ k }^{ ij } $ ，逆贡献为 $ f_{ i , j }^{ -1 } $ 。