考研路茫茫——单词情结
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Problem Description
背单词,始终是复习英语的重要环节。在荒废了3年大学生涯后,Lele也终于要开始背单词了。
一天,Lele在某本单词书上看到了一个根据词根来背单词的方法。比如"ab",放在单词前一般表示"相反,变坏,离去"等。
于是Lele想,如果背了N个词根,那这些词根到底会不会在单词里出现呢。更确切的描述是:长度不超过L,只由小写字母组成的,至少包含一个词根的单词,一共可能有多少个呢?这里就不考虑单词是否有实际意义。
比如一共有2个词根 aa 和 ab ,则可能存在104个长度不超过3的单词,分别为
(2个) aa,ab,
(26个)aaa,aab,aac...aaz,
(26个)aba,abb,abc...abz,
(25个)baa,caa,daa...zaa,
(25个)bab,cab,dab...zab。
这个只是很小的情况。而对于其他复杂点的情况,Lele实在是数不出来了,现在就请你帮帮他。
一天,Lele在某本单词书上看到了一个根据词根来背单词的方法。比如"ab",放在单词前一般表示"相反,变坏,离去"等。
于是Lele想,如果背了N个词根,那这些词根到底会不会在单词里出现呢。更确切的描述是:长度不超过L,只由小写字母组成的,至少包含一个词根的单词,一共可能有多少个呢?这里就不考虑单词是否有实际意义。
比如一共有2个词根 aa 和 ab ,则可能存在104个长度不超过3的单词,分别为
(2个) aa,ab,
(26个)aaa,aab,aac...aaz,
(26个)aba,abb,abc...abz,
(25个)baa,caa,daa...zaa,
(25个)bab,cab,dab...zab。
这个只是很小的情况。而对于其他复杂点的情况,Lele实在是数不出来了,现在就请你帮帮他。
Input
本题目包含多组数据,请处理到文件结束。
每组数据占两行。
第一行有两个正整数N和L。(0<N<6,0<L<2^31)
第二行有N个词根,每个词根仅由小写字母组成,长度不超过5。两个词根中间用一个空格分隔开。
每组数据占两行。
第一行有两个正整数N和L。(0<N<6,0<L<2^31)
第二行有N个词根,每个词根仅由小写字母组成,长度不超过5。两个词根中间用一个空格分隔开。
Output
对于每组数据,请在一行里输出一共可能的单词数目。
由于结果可能非常巨大,你只需要输出单词总数模2^64的值。
由于结果可能非常巨大,你只需要输出单词总数模2^64的值。
Sample Input
2 3
aa ab
1 2
a
Sample Output
104
52
Author
linle
Recommend
lcy
这道题从上午搞到现在终于是用两种方法搞完了
在这里想说一句,输入的n,l其中l要用到64位,因为后面算26^1+26^2+...+26^l或者A^1+A^2+A^3+...+A^l时要用到(l+1)/2进行二分快速幂,而l+1可能会超int,网上很多都没说清楚
第二个就是求26^1+26^2+...+26^l或者A^1+A^2+A^3+...+A^l都可以用二分进行快速幂或直接进行矩阵快速幂,在这里我两种方法都写了
第三个就是计算26^1+26^2+...+26^l不要用等比公式变成(26^(l+1)-26)/25去进行快速幂计算,这样会出错,至于为什么出错自己调试调试就知道了
第四个就是题目中说结果可能很大需要去mod 2^64,在这里直接定义变量unsigned __int64,这样超出的就自动截断了,相当于mod
分析+题解请看代码
第一种方法:用二分矩阵快速幂求A^1+A^2+...+A^l
/* 分析:相信做过poj2778的都知道如何求长度为n的模式串不包含病毒串的个数 没做过的建议去做,此题是poj2778的加强版 本题只需要求出长度<=n的所有串-包含病毒串的个数 即26^1+26^2+26^3+...+26^n-(A^1+A^2+A^3+...+A^n);//A是状态矩阵,即在满足条件下到达另一个状态的个数 26^1+...+26^n可以用快速幂求出h或者矩阵快速幂求出,A^1+...+A^n可以用矩阵二分快速幂求出或者构造: |1 26| |Sn | |Sn+1 | |0 26|*|26^n|=|26^(n+1)|;//Sn=26^1+26^2+...+26^n |A 1| |Sn| |Sn+1| |0 1|*| A|=|A |;//Sn=A+A^2+A^3+...+A^n 只要:|A 1| |0 1| 自乘n次与|S0|相乘即可,则可以用矩阵快速幂求 |A | */ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<iomanip> #define INF 99999999 using namespace std; const int MAX=30+10; //unsigned __int64 mod=1ll<<64; unsigned __int64 array[MAX][MAX],sum[MAX][MAX],temp[MAX][MAX],ans[MAX][MAX]; __int64 l; int size,n; char s[10]; struct TrieNode{ bool mark;//标记是否是词根 int id;//记录节点序号 TrieNode *fail,*next[26]; }*root,Node[MAX]; TrieNode *New_TrieNode(){ memset(&Node[size],0,sizeof(TrieNode)); Node[size].id=size; return &Node[size++]; } void InsertNode(char *a){//插入词根 TrieNode *p=root; while(*a){ if(!p->next[(*a)-'a'])p->next[(*a)-'a']=New_TrieNode(); p=p->next[(*a)-'a']; ++a; } p->mark=true; } void Build_AC(){//建立AC自动机并构造初始矩阵array memset(array,0,sizeof array); TrieNode *p,*next; queue<TrieNode *>q; q.push(root); while(!q.empty()){ p=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<26;++i){ if(p->next[i]){ next=p->fail; while(next && !next->next[i])next=next->fail; p->next[i]->fail=next?next->next[i]:root; if(p->next[i]->fail->mark)p->next[i]->mark=true;//表示这个前缀是词根,acg,ac q.push(p->next[i]); }else p->next[i]=(p == root)?root:p->fail->next[i];//从p->id状态可以递推到p->fail->next[i]状态 if(!p->next[i]->mark)++array[p->id][p->next[i]->id];//表示到达的下一个状态非词根,则可以到达 } } } void MatrixInit(unsigned __int64 a[MAX][MAX],bool flag){//矩阵初始化 for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j){ if(flag)a[i][j]=array[i][j];//a=array else a[i][j]=(i == j);//a=1 } } } void MatrixAdd(unsigned __int64 a[MAX][MAX],unsigned __int64 b[MAX][MAX]){//矩阵相加,a=a+b for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j)a[i][j]+=b[i][j]; } } void MatrixMult(unsigned __int64 a[MAX][MAX],unsigned __int64 b[MAX][MAX]){//矩阵相乘,a=a*b unsigned __int64 c[MAX][MAX]={0}; for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j){ for(int k=0;k<size;++k){ c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; } } } for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j)a[i][j]=c[i][j]; } } void MatrixPow(__int64 k){ MatrixInit(sum,0);//sum=1 MatrixInit(temp,1);//temp=array while(k){ if(k&1)MatrixMult(sum,temp); MatrixMult(temp,temp); k>>=1; } } void MatrixSum(__int64 k){//A^1+A^2+A^3+...+A^n if(k == 1){MatrixInit(ans,1);return;} MatrixSum(k/2); MatrixPow((k+1)/2);//这里用到了k+1,而k+1可能会超int,所以k即l要用64位 if(k&1){//A+(A+A^m)*(A^1+A^2+...);//m=(k+1)/2 MatrixInit(temp,1);//temp=A; MatrixAdd(sum,temp);//sum=sum+temp=A^m+A MatrixMult(ans,sum);//ans=ans*sum=(A^1+A^2+...)*(A^m+A) MatrixAdd(ans,temp);//ans=ans+temp=ans+A=A^1+A^2+...)*(A^m+A) }else{//(1+A^m)*(A^1+A^2+...);//m=(k+1)/2 MatrixInit(temp,0);//temp=1 MatrixAdd(temp,sum);//temp=temp+sum=1+A^m MatrixMult(ans,temp);//ans=ans*temp=(A^1+A^2+...)*(1+A^m) } } int main(){ while(scanf("%d%I64d",&n,&l)!=EOF){ size=2; array[0][0]=1,array[0][1]=26; array[1][0]=0,array[1][1]=26; MatrixPow(l);//求26^1+26^2+...+26^l unsigned __int64 all=sum[0][1]; printf("%I64u ",all); size=0; root=New_TrieNode(); for(int i=0;i<n;++i){ scanf("%s",s); InsertNode(s); } Build_AC(); MatrixSum(l);//A^1+A^2+A^3+...+A^n for(int i=0;i<size;++i)all-=ans[0][i]; printf("%I64u ",all); } return 0; }
第二种方法:用包含矩阵的矩阵进行快速幂求A^1+A^2+A^3+...+A^l;//第一次这种方式写,不知道是不是我写错了,感觉效率增加不是很多,为什么别人说效率会增加4倍左右呢,有知道的大神请指教
/* 分析:相信做过poj2778的都知道如何求长度为n的模式串不包含病毒串的个数 没做过的建议去做,此题是poj2778的加强版 本题只需要求出长度<=n的所有串-包含病毒串的个数 即26^1+26^2+26^3+...+26^n-(A^1+A^2+A^3+...+A^n);//A是状态矩阵,即在满足条件下到达另一个状态的个数 26^1+...+26^n可以用快速幂求出h或者矩阵快速幂求出,A^1+...+A^n可以用矩阵二分快速幂求出或者构造: |1 26| |Sn | |Sn+1 | |0 26|*|26^n|=|26^(n+1)|;//Sn=26^1+26^2+...+26^n |A 1| |Sn| |Sn+1| |0 1|*| A|=|A |;//Sn=A+A^2+A^3+...+A^n 只要:|A 1| |0 1| 自乘n次与|S0|相乘即可,则可以用矩阵快速幂求 |A | */ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<algorithm> #include<map> #include<iomanip> #define INF 99999999 using namespace std; const int MAX=30+10; //unsigned __int64 mod=1ll<<64; unsigned __int64 array[MAX][MAX],sum[2][2][MAX][MAX],temp[2][2][MAX][MAX]; int size,n; __int64 l; char s[10]; struct TrieNode{ bool mark;//标记是否是词根 int id;//记录节点序号 TrieNode *fail,*next[26]; }*root,Node[MAX]; TrieNode *New_TrieNode(){ memset(&Node[size],0,sizeof(TrieNode)); Node[size].id=size; return &Node[size++]; } void InsertNode(char *a){//插入词根 TrieNode *p=root; while(*a){ if(!p->next[(*a)-'a'])p->next[(*a)-'a']=New_TrieNode(); p=p->next[(*a)-'a']; ++a; } p->mark=true; } void Build_AC(){//建立AC自动机并构造初始矩阵array memset(array,0,sizeof array); TrieNode *p,*next; queue<TrieNode *>q; q.push(root); while(!q.empty()){ p=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<26;++i){ if(p->next[i]){ next=p->fail; while(next && !next->next[i])next=next->fail; p->next[i]->fail=next?next->next[i]:root; if(p->next[i]->fail->mark)p->next[i]->mark=true;//表示这个前缀是词根,acg,ac q.push(p->next[i]); }else p->next[i]=(p == root)?root:p->fail->next[i];//从p->id状态可以递推到p->fail->next[i]状态 if(!p->next[i]->mark)++array[p->id][p->next[i]->id];//表示到达的下一个状态非词根,则可以到达 } } } void MatrixInit(unsigned __int64 A[2][2][MAX][MAX],bool flag){//矩阵初始化 for(int a=0;a<2;++a){ for(int b=0;b<2;++b){ for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j){ if(flag){ if(a+b == 0)A[a][b][i][j]=array[i][j];//A[0][0]=array else if(b == 1)A[a][b][i][j]=(i == j);//A[0][1]=A[1][1]=1 else A[a][b][i][j]=0;//A[1][0]=0 }else{ if(a == b)A[a][b][i][j]=(i == j);//A[0][0]=A[1][1]=1 else A[a][b][i][j]=0;//A[0][1]=A[1][0]=0; } } } } } } void MatrixMult(unsigned __int64 A[2][2][MAX][MAX],unsigned __int64 B[2][2][MAX][MAX]){//矩阵相乘,a=a*b unsigned __int64 C[2][2][MAX][MAX]={0}; for(int a=0;a<2;++a){ for(int b=0;b<2;++b){ for(int c=0;c<2;++c){ for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j){ for(int k=0;k<size;++k){ C[a][b][i][j]+=A[a][c][i][k]*B[c][b][k][j]; } } } } } } for(int a=0;a<2;++a){ for(int b=0;b<2;++b){ for(int i=0;i<size;++i){ for(int j=0;j<size;++j)A[a][b][i][j]=C[a][b][i][j]; } } } } void MatrixPow(__int64 k){ MatrixInit(sum,0);//sum=1 MatrixInit(temp,1);//temp=B=|A 1| while(k){ //|0 1| if(k&1)MatrixMult(sum,temp); MatrixMult(temp,temp); k>>=1; } } unsigned __int64 FastPow(unsigned __int64 a,int k){ unsigned __int64 ans=1; while(k){ if(k&1)ans=ans*a; a=a*a; k>>=1; } return ans; } unsigned __int64 FastSum(__int64 k){ if(k == 1)return 26; unsigned __int64 ans=FastSum(k/2); unsigned __int64 a=FastPow(26ull,(k+1)/2);//这里用到了k+1,而k+1可能会超int,k要用64位 if(k&1)return 26+(26+a)*ans;//26+(26+26^m)*(26^1+26^2+...),m=(k+1)/2 else return (1+a)*ans;//(1+26^m)*(26^1+26^2+...),m=(k+1)/2 } int main(){ while(scanf("%d%I64d",&n,&l)!=EOF){ size=0; root=New_TrieNode(); for(int i=0;i<n;++i){ scanf("%s",s); InsertNode(s); } Build_AC(); MatrixPow(l); unsigned __int64 ans=FastSum(l); for(int j=0;j<size;++j){//只要求出最终的sum[0][1][0][i]的结果就行 for(int k=0;k<size;++k){ ans-=sum[0][1][0][k]*array[k][j]; } } printf("%I64u ",ans); } return 0; }