【noip2014】联合权值

题目描述

无向连通图 G 有 n 个点，n-1 条边。点从 1 到 n 依次编号，编号为 i 的点的权值为 $W^{i ，每条边的长度均为 1。图上两点(u, v)的距离定义为 u 点到 v 点的最短距离。对于图 G 上的点对(u, v)，若它们的距离为 2，则它们之间会产生 W^{u \times W^{v 的联合权值。}}}$

请问图 G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入

第一行包含 1 个整数 n。

接下来 n-1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数 u、v，表示编号为 u 和编号为 v 的点之间有边相连。

最后 1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图 G 上编号为 i 的点的权值为 $W^{i 。}$

输出

输出共 1 行，包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图 G 上联合权值的最大值和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对 10007 取余。

样例输入

样例输出

20 74

对于 30%的数据，1 < n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 < n ≤ 2000；

对于 100%的数据，1 < n ≤ 200,000，0 <

题解

图论题。

70分做法：两点之间距离为2，那么我们很容易想到枚举中间点，将中间点向外连出的所有的点两两配对，求出最大值和总和。

100做法：在70分的做法基础上，对于每个中间点，减少一次对连边的枚举。在遍历连边的时候，求出连出点的最大值和次大值，便可更新全局最大值。考虑总和，设中间点为u，它连向的点分别为v1，v2 .....

那么这些点对u的贡献可以表示为：ΣΣvi*vj ( i ≠ j ) = Σ （ vi * Σvj ） ( i ≠ j ) = Σ vi*( Σvj - vi ) = ( Σvi )² - Σvi² ，即和的平方减平方和。

注意无向图要开2倍大小。无限TLE

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

const int maxn=200000+50;
const int mod=10007;

int fir[maxn],to[2*maxn],nex[2*maxn],ecnt;
ll n,u,v,w[maxn],maxx,ans,sum[maxn],a[maxn];

void add_edge(int u,int v){
    nex[++ecnt]=fir[u];fir[u]=ecnt;to[ecnt]=v;
}

template<typename T>void read(T& aa){
    char cc; ll ff;aa=0;cc=getchar();ff=1;
    while((cc<'0'||cc>'9')&&cc!='-') cc=getchar();
    if(cc=='-') ff=-1,cc=getchar();
    while(cc>='0'&&cc<='9') aa=aa*10+cc-'0',cc=getchar();
    aa*=ff;
}

void change(ll x,ll &m1,ll &m2){
    if(x>=m1) m2=m1,m1=x;
    if(x<m1&&x>=m2) m2=x;
}

void work(int x){
    ll sum=0,tot=0,m1=0,m2=0;
    for(int e=fir[x];e;e=nex[e]){
        int v=to[e];
        change(w[v],m1,m2);
        sum+=w[v];
        tot+=w[v]*w[v];
    }
    sum=sum*sum;
    maxx=max(maxx,m1*m2);
    ans=(ans+sum-tot)%mod;
}

int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        read(u),read(v);
        add_edge(u,v);
        add_edge(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) read(w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) work(i);
    cout<<maxx<<" "<<ans<<endl;
    return 0;
}