洛谷 P1516 青蛙的约会

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516#sub

题意还是非常好理解的.....

假如这不是一道环形的跑道而是一条直线，你会怎样做呢？

如果是我就会列一个方程，像

$$x+m imes k = y+n imes k $$

求出方程解得k值。

然而这是一个环形跑道，也就有了取模的问题，然而我们只需要稍微改变一下方程

$$x + m imes k = y + n imes k + l imes z [z in mathbb{Z} ]$$

z表示被%掉了多少圈，我们试着两边转移一下

$$(x-y)+(m-n) imes k = l imes z$$

我们定义$a=(x-y),b=(m-n)$

$$a +b imes k= l imes z $$

$$ bk+lz=a $$

那么我们的任务就变成了解出这个二元一次方程了。

首先判断$ a是否整除gcd(b,l) $，不整除则无解，否则有解的话就可以用扩展欧几里得求得解。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define LL long long 
LL xx,yy,n,m,x,y,a,b,l,r;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    return !b?(x=1,y=0):(exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x);
}
int main()
{
    cin>>xx>>yy>>m>>n>>l;
    a=xx-yy;
    b=n-m;
    if(b<0)b=-b,a=-a;
    r=gcd(b,l);
    exgcd(b,l,x,y);
    //现在我们解出的是bx+lz=gcd(b,l)的解，输出答案是要扩大至a. 
    if(a%r!=0)printf("Impossible");
    else  cout<<((x*(a/r))%(l/r)+(l/r))%(l/r);
    //这个答案我研究了好久，最后才发现这个模数是因为组这么多步以后
    //他们两个都回到了起始点. 
//cout<<x*(a/r);
}