行列式(记为(|A|))
定义
一个矩阵的行列式我们定义为(sum_{p is permutaion}(-1)^{sigma(p)} imesprod_{i=1}^na_{i,p_i})
其中(sigma(p))表示(p)的逆序对个数
性质
百度百科
求法
高斯消元
余子式(记为(m_{i,j}))
定义
(m_{i,j})表示远矩阵去除第(i)行和第(j)列之后剩下矩阵的行列式
代数余子式(记为(M_{i,j}))
定义
我们称(M_{i,j}=m_{i,j} imes (-1)^{i+j})为代数余子式
与行列式的关系
任意一个(n)阶矩阵的行列式可以用某一行或者某一列的代数余子式展开，即
[|A|=sum_{i=1}^nM_{x,i} imes A_{x,i}
]
证明
首先考虑有一个(n)阶矩阵
[A =
egin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &ldots & A_{1,n} &\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & ldots & A_{2,n} &\
& & ldots & & &\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & ldots & A_{n,n}
end{pmatrix}
]
考虑(|A|)可以用某一行按照以下方式展开
[egin{vmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &ldots & A_{1,n} &\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & ldots & A_{2,n} &\
& & ldots & & &\
A_{x,1} & 0 & 0 & ldots & 0 &\
& & ldots & & &\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & ldots & A_{n,n}
end{vmatrix}
+
egin{vmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &ldots & A_{1,n} &\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & ldots & A_{2,n} &\
& & ldots & & &\
0 & A_{x,2} & 0 & ldots & 0 &\
& & ldots & & &\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & ldots & A_{n,n}
end{vmatrix}
+
ldots
+
egin{vmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &ldots & A_{1,n} &\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & ldots & A_{2,n} &\
& & ldots & & &\
0 & 0 & 0 & ldots & A_{x,n} &\
& & ldots & & &\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & ldots & A_{n,n}
end{vmatrix}
]
这个直接根据行列式的定义我们可以得到(|A|)的某种展开式
[|A|=sum_{i=1}^nA_{x,i} imes m_{x,i} imes (-1)^y
]
其中(y)是一个未知变量，接下来我们考虑(y)的取值应该是什么
首先考虑一个这样矩阵的行列式
[egin{pmatrix}
A & 0 \
B & C\
end{pmatrix}
]
明显这样的矩阵的行列式就是(|A| imes |C|)
然后考虑行列式有个性质:交换矩阵中任意两行或者两列，行列式取反。那么我们考虑将((3))中矩阵进行交换变成类似((5))中的矩阵，即变成
[egin{pmatrix}
A_{x,i} & 0 & 0 & ldots & 0 &\
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &ldots & A_{1,n} &\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & ldots & A_{2,n} &\
& & ldots & & &\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & ldots & A_{n,n}
end{pmatrix}
]
显然他的行列式就是(A_{x,i} imes m_{x,i})，发现我们一共会进行(x+i-2)次交换，那么对应会原来的矩阵他的行列式就是(A_{x,i} imes m_{x,i} imes (-1)^{x+i-2})，因为(m_{x,i} imes (-1)^{x+i-2}=m_{x,i} imes (-1)^{x+i}=M_{x,i})，所以我们就证明了((1))式
性质
对于一个矩阵的代数余子式，如果我们将矩阵的某一行(i)与代数余子式的某行(j)相乘，当(i=j)时，结果为(|A|)，否则结果为(0)
证明
考虑任意一个(n)阶矩阵
[A=
egin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} &ldots & A_{1,n} &\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & ldots & A_{2,n} &\
& & ldots & & &\
A_{n,1} & A_{n,2} & A_{n,3} & ldots & A_{n,n}
end{pmatrix}
]
考虑他的行列式的展开式(|A|=sum_{i=1}^nM_{x,i} imes A_{x,i})，如果我们将矩阵中除第(x)行之外的任意一行复制下来替换成第(x)行，那么行列式为(0)，并且这一行的代数余子式不变，所以就有(sum_{i=1}^nM_{x,i}A_{y,i}=0)
伴随矩阵
定义
对于一个矩阵(A)，我们设他的代数余子式矩阵为(M)，那么代数余子式(M)构成如下矩阵
[egin{pmatrix}
M_{1,1} & M_{2,1} & M_{3,1} &ldots & M_{n,1} &\
M_{1,2} & M_{2,2} & M_{3,2} & ldots & M_{n,2} &\
& & ldots & & &\
M_{1,n} & M_{2,n} & M_{3,n} & ldots & M_{n,n}
end{pmatrix}
]
那么我们记(A^*)表示(A)的伴随矩阵，即代数余子式矩阵的转置
性质
对于一个矩阵(A)，如果(A)可逆，那么存在下面等式
[AA^*=|A|I
]
证明
考虑代数余子式的性质：对于一个矩阵的代数余子式，如果我们将矩阵的某一行(i)与代数余子式的某行(j)相乘，当(i=j)时，结果为(|A|)，否则结果为(0)
因为(A^*)实际上就是代数余子式矩阵的转置，那么当我们用(A)去右乘(A^*)得到的矩阵，只有在(i=j)时才会有值，且值为(|A|)，其他位置都是(0)