[算法] poj 3903 最长上升子序列 dp vs （二分 nlogn）

最长上升子序列 - DP  O(n*n)
F[t] 表示从 1 到t这一段中以 t 结尾的最长上升子序列的长度
    F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <stack>
#include <deque>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <climits>
#include <cassert>
#define BUG puts("here!!!");

using namespace std;
const int N = 100005;
int data[N];
int dp[N];
int main() {
	int n;
	while(cin >> n) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &data[i]);
		}
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for(int i = 1; i <= n; i++)  {
			dp[i] = 1;
		}
		int mmax = 0;
		if(n > 0) mmax = 1;
		for(int i = 2; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j < i; j++) {
				if(data[j] < data[i]) {
					dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
				}
			}
			mmax = max(mmax, dp[i]);
		}
		printf("%d\n", mmax);
	}
	return 0;
}

二分 O(nlogn)

     根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。

　　注意到D[]的两个特点：

　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A[t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有D[j] < A[t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <stack>
#include <deque>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <climits>
#include <cassert>
#define BUG puts("here!!!");

using namespace std;
const int N = 100005;
int num, D[N];
int main() {
	int n;
	while(cin >> n) {
		D[0] = -1;
		int top = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &num);
			if(num > D[top]) {
				top++;
				D[top] = num;
			}
			else {
				int low = 1, high = top;
				while(low <= high) {
					int mid = (low+high) >> 1;
					if(num > D[mid]) {
						low = mid + 1;
					}
					else high = mid - 1;
				}
				D[low] = num;
			}
		}
		printf("%d\n", top);
	}
	return 0;
}