1. 特征值与特征向量
矩阵作用于向量的特殊情况是它能等价于用一个常数作用于该向量。，其中
称为特征向量，
称为对应于
的特征向量，
是非0向量。
是A的特征值当且仅当
有非平凡解。
不同特征值对应的特征向量构成的集合线性无关。
对角化
很多情况下A可以做这样的分解D是对角矩阵，这样可以方便求解
。
考虑如果A有n个线性无关的特征向量。 ,其中P由这个n个向量组成，D是对应对角线上取相对应的特征值
。
如果不是有n个不同的特征值，但是所有特征值对应的特征向量空间维数之和为n也可以。
2. 正交性与最小二乘法
正交投影， 最佳逼近定理
构造标准正交基的方法 格拉姆-施密特，对应 QR分解
最小二乘问题
方程AX=b可能无解，我们可能希望求得一个最接近b的解。
对应最小二乘解，x是空间中任意向量。
这个解问题可以转化为求解将b投影到ColA空间的解，因为这个解对应与b的最近距离了。
书中给出例子当A中的列不是线性无关的时候会有自由变量，所以最小二乘解不是唯一的，但是投影是唯一的。
3. 对称矩阵
书中介绍的思路总的来说是特殊化的，随着特殊化，比如到对称矩阵，它具有更多更好的特性。
前面提到的对角化P矩阵对应于对称矩阵，则同时是正交矩阵的，如果正交对角化一定是对称矩阵，
而且对称矩阵确保一定可以对角化。。
对称矩阵可以谱分解,逆对应转置
二次型
A是对称矩阵。
如果A是对角阵Q结果中不包含交叉项如, 利用前面对称矩阵对角化性质（考虑D可是对角阵)，我们可以通过坐标变换去掉交叉项。
二次型分类 ，正定，负定，不定 考虑上面主轴定理的坐标转换后，其实完全取决于特征值。
条件优化（限制x是单位向量情况下的二次型极值问题）
这里考虑的是对应一组单位向量中的变量使得二次型Q(x)最优化的问题。
结论是 对应取得最大最小值分别对应最大最小特征值，对应单位向量是对应特征值对应的特征向量。
LU分解（解方程，单位阵变换），QR分解（正交基，正交变换），奇异值分解（对角化）