仿射变换 |
|
仿射变换 affine transformations 仿射平面（或空间）到自身的一类变换，最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。作为最常见的例子，首先引进两平面间的平行投影，设已知两平面  与 ，d是与两平面都不平行的向量，过平面 上各点 、 、 、…分别作与d平行的直线交于、、、…，于是与各点间存在着一一对应的关系，这项对应关系叫做 到的平行投影。与，与,与…为平行投影下的对应点,显见平行投影与 d有关。两平面间的平行投影具有以下重要性质:点变点；直线变直线；点与直线的结合关系不变。共线三点的简比不变,即[189-4] 其中、、分别是共线三点、、的对应点，平面上的两条平行线，对应着平面上的两条直线,也是平行的（图1[平行投影示意图] ）。当把经过一系列平行投影，最后仍变到本身的一一变换，就是一个仿影变换。在此情况下，上述性质也是保留的。将平行投影的概念加以推广，即得到下面的重要概念。两平面间的一一对应，如满足共线三点的对应点仍是共线三点；则此一一对应，叫仿射对应。如果两平面重合，就叫平面到它本身的仿射变换。因为仿射变换之积， 仍是仿射变换；任一个仿射变换的逆，仍是仿射变换，故平面内所有仿射变换的集合成群(见变换群)，叫做仿射变换群。它是射影变换群的子群。类似地可定义空 间的仿射变换及仿射变换群。 仿射性质与仿射不变量 按照依变换群将几何学分类的观点，图形在仿射变换群下的不变性质和不变的量叫做仿射性质和仿 射不变量。研究图形仿射性质的几何分支就称为仿射几何学。例如同素性（点变成点，直线变成直线）、结合性（点在线上或直线通过点）都是基本的仿射不变性， 简比则是基本的仿射不变量。而且还可推出，二直线的平行性、平行线段的比、封闭图形面积的比等，都是在仿射变换下不变的。又如关于二次曲线的中心、直径及 共轭径等，都是平面仿射几何的研究对象，因为它们都是仿射性质。 仿射坐标系 见坐标系。 仿射变换的代数表示 设给定平面上一个仿射坐标系{  ;e ,e }，仿射变换将点 变为点,并将坐标系{；e,e}变为坐标系{;e ,e } (图2[仿射变换示意图] )。若令[189-5] [189-6] 则e,e；e，e分别为新旧两坐标轴上的坐标向量。设，,e，e,在{;e,e}下的坐标,分别是( , ),(,)，e(  , )，e( , ),( , )，如果要求出与坐标间的关系。由于仿射变换保持平行性,故[189-7] [189-8] 仍为平行四边形，又由于仿射变换保持简比不变，所以在{;e,e}下的坐标仍为(,)。根据向量的加法及向量的坐标表达，则有：[190-1]  又 [190-2] 比较以上二式，得[190-3]  (1)由于e,e不平行，故又有[190-4]  (2)满足(2)的(1)式，就是仿射变换的代数表示式。利用仿射变换的代数表示，对问题的解决将有很大的方便，同时也便于将它推广到高维空间。参考书目 苏步青编：《高等几何讲义》，上海科学技术出版社，上海，1964。 朱德祥编:《高等几何》,高等教育出版社,北京,1983。 切特维鲁欣著,东北师范大学几何教研室译:《射影几何》,高等教育出版社,北京,1955。(  . .         ,                . 6-.    .,   ,    ,1953. | |