回溯算法题总结

今天笔试了华为的提前批，爆炸，三道题最后就拿了200分，各种输入输出问题。。。醉了啊，题都不是很难，但输入输出折腾了半天T  T。。。第三题是和尚挑水的问题，

第二题就是找出数组中只能被自己整除的数，思路也很简单，最水的方法就是对每一个数，与数组中的其他数字进行除法运算，时间复杂度是O(n²)就不写代码了，也可以用通过维护一个除数的数组，具体时间复杂度有点难算，应该是2nk，k是这个数组的长度。代码我稍微写了一下。

#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
	vector<int> nums{ 4,5};
	//即剔除只能本自己整除的数
	vector<int> temp{ 4 };
	int flag = true;
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
		for (auto iter = temp.begin(); iter != temp.end(); iter++) {
			if (*iter%nums[i] == 0) {
				*iter = nums[i];
				flag = false;
				break;
			}
			else if (nums[i] % (*iter) == 0) {
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if (flag) {
			temp.push_back(nums[i]);
		}
		else {
			flag = true;
		}
	}

	for (auto m : temp) {
		cout << m << " ";
	}
}

　　

一、问题
某寺庙里7个和尚:轮流挑水，为了和其他任务不能冲突，各人将有空天数列出如下表：
和尚1: 星期二,四;
和尚2: 星期一,六;
和尚3: 星期三,日;
和尚4: 星期五;
和尚5: 星期一,四,六;
和尚6: 星期二,五;
和尚7: 星期三,六,日;
请将所有合理的挑水时间安排表

其实思路很简单，就是使用回溯算法，但是我自己太坑了啊，当时看到八皇后的题时候，知道用回溯算法，但是就看了一眼，没自己动手实现，结果今天不会写回溯。。。哈哈哈哈哈，最后用了非常傻逼的方法，就是全排列以后然后再选择符合的答案输出，但是格式有问题。。。最后300就拿了100分  _(:з」∠)____ 23333，对了，第二题我更加傻逼，200分一分没拿，哈哈哈哈哈气哭了，还是因为输入问题。。。。。感觉要好好练一下输入输出啊。。。

今天通过这题把回溯算法总结一下吧。

 这边先上我用非回溯写的算法，首先全排列，然后判断即可。

代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

void allCombination( vector<int> &nums, vector<vector<int>> &res, int start){
	if( start == 7 ){
		res.push_back(nums);
		return;
	}
	for( int i = start; i < 7; i++ ){
		swap(nums[i],nums[start]);
		allCombination(nums,res,start+1);
		swap(nums[i],nums[start]);
	}
}

int main(){
//	vector<vector<int>> source(7,vector<int>(7,0));
//	for( int i = 0; i < 7; i++ ){
//		for( int j = 0; j < 7; j++ ){
//			cin>>source[i][j];
//		}
//	}
	vector<vector<int>> source{{0,1,0,1,0,0,0},{1,0,0,0,0,1,0},{0,0,1,0,0,0,1},{0,0,0,0,1,0,0},{1,0,0,1,0,1,0},{0,1,0,0,1,0,0,},{0,0,1,0,0,1,1}};
	int count = 0;
	vector<int> nums{1,2,3,4,5,6,7};
	vector<vector<int>> res;
	allCombination(nums, res, 0);
	vector<vector<int>> resoult;
	bool flag = true;
	for( int i = 0; i < res.size(); i++ ){
		for( int j = 0; j < 7; j++ ){
			if(source[res[i][j]-1][j] == 0 ){
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if( flag ){
				resoult.push_back(res[i]);
				count++;
		}
		else{
				flag = true;
		}
	}
	cout<<count<<endl;
	for( int i = 0; i < resoult.size(); i++ ){
		for( int j = 0; j < 7; j++ ){
			cout<<resoult[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
} 

那全排列的问题是什么？其实就是减枝的问题，在排列的时候没有直接将不可能的结果去掉，比如1,X,X,X,X,X,X这样的排列组合，如果第一个和尚规定第一天就不能抬水，那么所有1开头的组合方式都是没有必要去验证的。所以回溯算法的本质其实是在可能的解空间进行搜索，这样相对于枚举的优势就是能够更快的找到解。

如果有了这样的的思路，那我们就可以这样判断从第一天开始判断，往后进行判断，如果当天某一个和尚能够挑水，则放入解向量中，并把这个和尚的标志设为已经挑水，如果往下搜索以后，发现所有情况都不能满足了，则回退到上一步，换其他的和尚挑水，反复进行，直到所有可能情况都遍历。

这边需要注意的一个是截止条件，比如对于和尚挑水这一题，

1.截止条件应该就是第一天挑水的和尚为不存在的第八个和尚，即<8。

2.是一个成功解的判定条件是解向量的长度为7，即每一天都有和尚挑水。

3.如果当前这一天成功，则搜寻下一天，如果当天失败，则回退到上一天。对3过程进行迭代

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

void allPossibleResult( vector<int> &isSelected, int day, vector<vector<int>> &source, vector<int> res ){
	if( day == 7 ){
		for( int i = 0 ; i < 7; i++ ){
			cout<<res[i]<<" ";
		}
		cout<<endl;
		return; 
	}
	else{
		for( int i = 0; i < 7; i++ ){
			res[day] = i+1; //第day天选择第i个和尚挑水
			if( source[i][day] == 1 && isSelected[i] != 1 ){
				isSelected[i] = 1;
				allPossibleResult(isSelected, day+1, source, res);
				isSelected[i] = 0;
			} 
		}
	}
}

int main(){
	//	vector<vector<int>> source(7,vector<int>(7,0));
//	for( int i = 0; i < 7; i++ ){
//		for( int j = 0; j < 7; j++ ){
//			cin>>source[i][j];
//		}
//	}
	vector<vector<int>> source{{0,1,0,1,0,0,0},{1,0,0,0,0,1,0},{0,0,1,0,0,0,1},{0,0,0,0,1,0,0},{1,0,0,1,0,1,0},{0,1,0,0,1,0,0,},{0,0,1,0,0,1,1}};
	vector<int> isSelected(7,0);
	vector<int> res(7,0);
	int num = 0;
	int day = 0;
	allPossibleResult(isSelected, day, source, res);	
} 

试着用回溯法解一下把皇后

其实八皇后最大的不同应该就是if判断语句不同，如何判断与这边不同。

我设置了一个判断函数，判断的过程就是判断行上是否有皇后存在，判断列上是否有皇后存在，然后判断对角线，这边比较麻烦的是对角线，其实对角线可以这么判断，对于坐标(a,b),如果对于点(c,d) a-c == b - d或者 a-c == d-b那么他们就是在一条对角线上，这样就能够判断所有行列和对角线了。其实感觉这个方法不怎么好，判断起来太复杂了。网上貌似提到了位操作的方法，可以思考下。

代码如下。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool isCheck(vector<vector<int>> matrix, int index, int i) {
	bool flag = true;
	for (int j = 0; j < 8; j++) {
		if (matrix[j][index] == 1 || matrix[i][j] == 1) {
			flag = false;
			break;
		}
		for (int k = 0; k < 8; k++) {
			if ((j - i == k - index || j - i == index - k) && j != i && k != index ) {
				if( matrix[j][k] == 1 )
					flag = false;
			}
		}
	}
	return flag;
}

void EightQueen(vector<int> &res, vector<vector<int>> &matrix, int &count, int index) {
	if (index == 8) {
		for (auto m : res) {
			cout << m << " ";
		}
		cout << endl;
		count++;
		return;
	}
	for (int i = 0; i < 8; i++) {
		res[index] = i;
		if (isCheck(matrix, index,i)) {
			matrix[i][index] = 1;
			EightQueen(res, matrix, count, index + 1);
			matrix[i][index] = 0;
		}
	}

}

int main() {
	int sum = 0;
	vector<int> res(8, 0);
	vector<vector<int>> matrix(8, vector<int>(8, 0));
	int count = 0;
	EightQueen(res, matrix, count, 0);
	cout << count << endl;
}

我这边是通过一个一维数组输出的，比如{0,4,7,5,2,6,1,3}表示第一列的第1行放皇后，第二列的第4行放皇后，第三列的第7行放皇后.....