[转]海明码的编码和校验方法

原文

海明码，也叫汉明码，是一种纠错码。其方法是为需要校验的数据位增加若干校验位，使得校验位的值决定于某些被校位的数据，当被校数据出错时，可根据校验位的值的变化找到出错位，从而纠正错误。

本文以1010110这个二进制数为例解释海明码的编码和校验方法。

编码

确定校验码的位数x

设数据有n位，校验码有x位。则校验码一共有2^x种取值方式。其中需要一种取值方式表示数据正确，剩下2^x-1种取值方式表示有一位数据出错。因为编码后的二进制串有n+x位，因此x应该满足：

2^x-1 ≥　n+x

使不等式成立的x的最小值就是校验码的位数。在本例中，n=7，解得x=4。

确定校验码的位置

校验码在二进制串中的位置为2的整数幂。剩下的位置为数据。如图所示。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

求出校验位的值

以求x2的值为例。为了直观，将表格中的位置用二进制表示。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	x1	x2	1	x3	0	1	0	x4	1	1	0

为了求出x2，要使所有位置的第二位是1的数据（即形如**1*的位置的数据）的异或值为0。即x2^1^1^0^1^0 = 0。因此x2 = 1。

同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。

位置	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011
内容	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

因此1010110的海明码为01110100110。

校验

假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为：

将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据分别异或。

***1: 0^1^0^0^1^1 = 1

**1*: 1^1^1^0^1^1 = 1

*1**: 1^0^1^0 = 0 

1***: 0^1^1^1 = 1

以上四组中，如果一组异或值为1，说明该组中有数据出错了。***1 **1* 1***的异或都为1，说明出错数据的位置为1011。