现在的数据规模越来越大, 因此, 当输入规模大到只有运行时间的量级有关时, 就是在研究算法的
渐进效率 . 也就是从极限的角度观察算法的增长.
大O 记号 : 只有渐进上界时使用 .
Θ 记号 : 同时具有 渐进上界 和下届 .
Ω 记号 : 渐进下届 .定理 3.1 : 对任意两个函数 f(n) 和 g(n) , f(n) = Θ(g(n)) 当且仅当f(n) = O(g(n)) 和 f(n) = Ω(g(n)) .
这一章真的令人蛋痛, 全是记号, 表示头晕. 几个渐进函数之间的 各种 关系 : 传递性, 自反性, 对称性, 转置对称性, 三分性 神马的, 果然都是浮云啊, 只理解简单的大O好了, 其他的以后再慢慢研究.
第三章酱油……………………………………………………….
第四章: 这一章主要就是用 三种方法来 分析递归算法的效率~~~
1. 代换法 : 猜测解的形式, 用数学归纳法 证明之.很容易看出, 这是一种归纳假设的方法, 效率很明显, 可以很快得出结论, 但是只能用于解的形式很容易猜的情况. 我们可以用代换法来确定一个递归式的上界 和 下届(p39) .
尽管代换法很有效, 但是并不存在通用的方法来猜测递归式的正解, 这种猜测需要经验或是创造性的, 所以有时可以用一些试探的方法帮助作出好的猜测 ( 递归树 ). 另一种方法是证明比较宽松的上下界, 然后缩小区间, 降低上界, 提高下届, 直到达到正解.
对于陌生的递归式, 使用一些简单的代数变换, 可以转变为较熟悉的形式 :
, 进一步再设 S(m) = T( 2m ) , 得到新的递归式 :
S ( m ) = 2 S ( m / 2 ) + m , 这个新的递归式的界前面已经知道 : S(m) = O( mlgm )
最后可以得到 : T ( n ) = T ( 2m ) = S ( m ) = O ( mlgm ) = O ( lgnlglgn )
我们看一个简单的例子:
T(n) = 2T(n/2) + n2
迭代2次可以得:
T(n) = n2 + 2(2T(n/4) + (n/2) 2)
还可以继续迭代,将其完全展开可得:
T(n) = n2 + 2((n/2) 2 + 2((n/22)2 + 2((n/23) 2 + 2((n/24) 2 +…
+2((n/2i) 2 + (n/2i + 1)))…)))) ……(1)
而当n/2i+1 == 1时,迭代结束。
将(1)式小括号展开,可得:
T(n) = n2 + 2(n/2)2 + 22(n/22) 2 + … + 2i(n/2i)2 + 2i+1T(n/2i+1)
这恰好是一个树形结构,由此可引出递归树法。
图中的(a)(b)(c)(d)分别是递归树生成的第1,2,3,n步。每一节点中都将当前的自由项n2留在其中,而将两个递归项T(n/2) + T(n/2)分别摊给了他的两个子节点,如此循环。
图中所有节点之和为:
[1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + … + (1/2)i] n2 = 2n2
可知其时间复杂度为O(n2)
可以得到递归树的规则为:
(1) 每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下的值;
(2) 每个节点的分支数为k;
(3)每层的右侧标出当前层中所有节点的和。
再举个例子:
T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n
其递归树如下图所示:
可见每层的值都为n,从根到叶节点的最长路径是:
因为最后递归的停止是在(2/3)kn == 1.则
于是
即T(n) = O(nlogn)
总结,利用此方法解递归算法复杂度:
f(n) = af(n/b) + d(n)
1.当d(n)为常数时:
2.当d(n) = cn 时:
3.当d(n)为其他情况时可用递归树进行分析。
由第二种情况知,若采用分治法对原算法进行改进,则着重点是采用新的计算方法缩小a值。
3. 主方法 : 也就是传说中的公式法………….书中给出了 形如 T ( n ) = a T ( n / b ) + f ( n ) 的3种一般公式, 我们要做的就是使用这些萎缩的 公式就可以了 =. = ( P43 )
对于式子 : T ( n ) = a T ( n / b ) + f ( n )
3.) 若对于某常数e>0, 有
, 且对常数c<1与所有足够大的n, 有 af( n / b ) <= cf( n ), 则 T ( n ) = Θ ( f ( n ) ).
个人建议使用主方法, 主要是比较简单, 也比较容易理解~~~~~~呵呵