算法标记的一点知识

现在的数据规模越来越大, 因此, 当输入规模大到只有运行时间的量级有关时, 就是在研究算法的 渐进效率. 也就是从极限的角度观察算法的增长.

大O 记号 : 只有渐进上界时使用.

Θ 记号 : 同时具有 渐进上界 和下届.

Ω 记号 : 渐进下届.

定理 3.1 : 对任意两个函数 f(n) 和 g(n) , f(n) = Θ(g(n)) 当且仅当f(n) = O(g(n)) 和 f(n) = Ω(g(n)) .

这一章真的令人蛋痛, 全是记号, 表示头晕. 几个渐进函数之间的 各种 关系 : 传递性, 自反性, 对称性, 转置对称性, 三分性 神马的, 果然都是浮云啊, 只理解简单的大O好了, 其他的以后再慢慢研究.

第三章酱油……………………………………………………….

第四章:

这一章主要就是用 三种方法来 分析递归算法的效率~~~

1. 代换法 : 猜测解的形式, 用数学归纳法 证明之.

很容易看出, 这是一种归纳假设的方法, 效率很明显, 可以很快得出结论, 但是只能用于解的形式很容易猜的情况. 我们可以用代换法来确定一个递归式的上界 和 下届(p39) .

尽管代换法很有效, 但是并不存在通用的方法来猜测递归式的正解, 这种猜测需要经验或是创造性的, 所以有时可以用一些试探的方法帮助作出好的猜测 ( 递归树 ). 另一种方法是证明比较宽松的上下界, 然后缩小区间, 降低上界, 提高下届, 直到达到正解.

对于陌生的递归式, 使用一些简单的代数变换, 可以转变为较熟悉的形式 :

 , 可以设 m = lgn, 那么 式子可以变换为 :

 , 进一步再设 S(m) = T( 2^m ) , 得到新的递归式 :

S ( m ) = 2 S ( m / 2 ) + m , 这个新的递归式的界前面已经知道 : S(m) = O( mlgm )

最后可以得到 : T ( n ) = T ( 2^m ) = S ( m ) = O ( mlgm ) = O ( lgnlglgn )

2. 递归树方法 : 其实还是猜测……..

以下引用:

我们看一个简单的例子：

T(n) = 2T(n/2) + n²

迭代2次可以得：

T(n) = n² + 2(2T(n/4) + (n/2) ²)

还可以继续迭代，将其完全展开可得：

T(n) = n² + 2((n/2) ² + 2((n/2²)² + 2((n/2³) ² + 2((n/2⁴) ² +…

+2((n/2ⁱ) ² + (n/2^{i + 1})))…)))) ……(1)

而当n/2ⁱ⁺¹ == 1时，迭代结束。

将(1)式小括号展开，可得：

T(n) = n² + 2(n/2)² + 2²(n/2²) ² + … + 2ⁱ(n/2ⁱ)² + 2ⁱ⁺¹T(n/2ⁱ⁺¹)

这恰好是一个树形结构，由此可引出递归树法。

图中的(a)(b)(c)(d)分别是递归树生成的第1,2,3,n步。每一节点中都将当前的自由项n²留在其中，而将两个递归项T(n/2) + T(n/2)分别摊给了他的两个子节点，如此循环。

图中所有节点之和为:

[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²

可知其时间复杂度为O(n²)

可以得到递归树的规则为：

(1) 每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下的值；

(2) 每个节点的分支数为k；

(3)每层的右侧标出当前层中所有节点的和。

再举个例子：

T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

其递归树如下图所示：

可见每层的值都为n，从根到叶节点的最长路径是：

因为最后递归的停止是在(2/3)^kn == 1.则

于是

即T(n) = O(nlogn)

总结，利用此方法解递归算法复杂度：

f(n) = af(n/b) + d(n)

1.当d(n)为常数时：

2.当d(n) = cn 时：

3.当d(n)为其他情况时可用递归树进行分析。

由第二种情况知，若采用分治法对原算法进行改进，则着重点是采用新的计算方法缩小a值。

3. 主方法 : 也就是传说中的公式法………….

书中给出了 形如 T ( n ) = a T ( n / b ) + f ( n ) 的3种一般公式, 我们要做的就是使用这些萎缩的 公式就可以了 =. = ( P43 )

对于式子 : T ( n ) = a T ( n / b ) + f ( n )

1.) 若对于某常数 e > 0, 有 , 则

;

2.) 若 则

3.) 若对于某常数e>0, 有, 且对常数c<1与所有足够大的n, 有 af( n / b ) <= cf( n ), 则 T ( n ) = Θ ( f ( n ) ).

个人建议使用主方法, 主要是比较简单, 也比较容易理解~~~~~~呵呵