二分相关

二分答案

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 基本模板 
在一个有序数组中二分查找一个值 k

// 在一个单调数组里面二分查找某一个值 k
int n, k;
int a[MAXN];

void solve() {
    int lb = -1, ub = n;
    while (ub - lb > 1) {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        if (a[mid] >= k) {
            ub = mid;
        } else {
            lb = mid;
        }
    }
    printf("%d
", ub);
}

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例题分析

POJ1064 

假定一个解并判断是否可行

题目：有 N 条绳子，长度分别为L。如果从他们中切割出 K 条长度相同的绳子的话，这 K 条绳子每条最长能有多长。答案保留到小数点后两位

解：C(x) = 可以得到 k 条长度为 x 的绳子 = floor（（Li / x）的总和是否大于 k ）

代码如下：

注意在程序判定中，我们的解的范围要求小数点后两位，因为 1 次循环可以将区间的范围缩小一半，100 次循环则可以达到 10^-30 的精度范围。除此之外，也可以把中止条件设为像 （ub - lb）> EPS 这样，指定一个区间的大小

int N, K; 
double L[MAXN];

bool C(double x) {
    int num = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        num += (int)(L[i] / x);
    }
    return num >= K;
}

void solve() {
    // 初始化解的范围
    double lb = 0, ub = INF * 1.0;

    // 重复循环，直到解的范围足够小
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        double mid = (lb + ub) / 2;
        if (C(mid))
            lb = mid;
        else
            ub = mid;
    }
    printf("%.2f
", floor(ub * 100) / 100);
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d %d", &N, &K);
    for (int i = 0; i < N; i++) scanf("%lf", &L[i]);
    solve();
    return 0;
}

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POJ 2456 

最大化最小值

题目：

农夫约翰打了一间有 N 间牛舍的小屋。牛舍排在一条线上，第 i 号牛舍在 x_i 的位置。但是他的 M 头牛对小屋很不满意，因此经常互相攻击。约翰为了防止牛之间的互相伤害，因此决定把每头牛都放在离其他牛尽可能远的牛舍。也就是要最大化最近的两头牛之间的距离。

解：

C（d）= 可以安排牛的位置使得最近的两头牛的距离不小于 d。则问题转化为求最大的 d

贪心：

对牛舍的位置进行排序；

把第一头牛放入 $x_0$ 的牛舍；

如果第 i 头牛放入了 $x_j$ 的话，第 $i+1$ 头牛就要放入满足 $x_j+d<=x_k$ 的最小的 $x_k$ 中

int N, M;
int x[MAXN];

bool C(int d) {
    int last = 1;
    for (int i = 1; i < M; i++) {
        int crt = last + 1;
        while (crt <= N && x[crt] - x[last] < d) {
            crt++;
        }
        if (crt == N + 1) return false;
        last = crt;
    }
    return true;
}

void solve() {
    sort(x + 1, x + 1 + N);
    int lb = 0, ub = INF;
    while (ub - lb > 1) {
        int mid = (ub + lb) / 2;
        if (C(mid))
            lb = mid;
        else
            ub = mid;
    }
    printf("%d
", lb);
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d %d", &N, &M);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &x[i]);
    solve();
    return 0;
}