介绍
MLR算法是alibaba在2012年提出并使用的广告点击率预估模型，2017年发表出来。
如下图，LR不能拟合非线性数据，MLR可以拟合非线性数据，因为划分-训练模式。
讨论，非线性拟合能力：
数据划分规则如下公式，特征分片数m=1时，退化为LR；上图MLR中m=4。m越大，模型的拟合能力越强，一般m=12。
基础知识
优化方法：
1）剃度下降：
大小：一阶导数，方向：导数负方向。由目标函数的泰勒一阶展开式求得
2）牛顿法：
大小：一阶导数，方向：－海信矩阵的逆。由目标函数的泰勒二阶展开式求
3）拟牛顿法(LBFGS)：牛顿方向通过约等替换，每个样本保存下面三个参数：delta x ，delta剃度 和p：
增量替换，计算牛顿方向D
LBFGS方法通过一阶导数中值定理，避免了计算海信矩阵（复杂度太大）。但是L1范数不能求导，所以需要OWLQN方法。
4）OWLQN：
(1)次梯度定义如下，
(2)不可导点取左or右次梯度，如下 
直观解释，当你打算用左偏导时，说明是在负象限，因此要加上一个负值，使得更新之后参数更往负象限前进，这样就避免了跨象限；当打算用右偏导数时，说明在正象限，一次要加上一个正值，使得更新之后参数更往正象限前进，从而避免跨象限；否则，只能直接设置subgradient为0。
(3)象限搜索line search：
x不在0点时，line search在x_i所在象限搜索；如果模型参数在0点，就要在(2)次梯度约束的象限内进行line search.
MLR算法
算法公式如下：
0计算边界下降方向d：
1计算梯度大小：theta在0处不可导，取sign符号函数dij。
2计算最终下降方向p：
3象限内梯度下降，同OWLQN，line search：
paper介绍，MLR与LBFGS有三点不同：
1）OWLQN需要计算次梯度，MLR需要计算方向导数；
2）计算最终下降方向p时，MLR也要进行象限约束；
3）象限搜索line search，与OWLQN相似。
分布式框架实现
分布式
User特征共享
个人理解是为了加快运算速度，具体特征划分如下所示。其中，c是用户特征，nc是非用户特征。
实验结果
实验截图略，具体图表可以查看参考paper
纵坐标是内存使用率，特征共享技巧使速度提高了三倍。
参考paper：Learning Piece-wise Linear Models from Large Scale Data for Ad Click Prediction