codeforces gym 100357 I (费用流）

题目大意

　

　　给出一个或与表达式，每个正变量和反变量最多出现一次，询问是否存在一种方案使得每个或式中有且仅有一个变量的值为1。

解题分析

　　将每个变量拆成三个点x，y，z。 y表示对应的正变量，z表示对应的反变量。

　　由S向每个点的x部连一条流量为1的边，表示该变量的某个正变量或反变量的取值为1。

　　由每个点的x部向y部和z部分别连一条流量为1的边，表示每个正变量和反变量仅有一个取值为1。

　　若某个或式中含有某个变量，则由该变量的y部或z部向或式连一条流量为1的边。表示该变量可以使该或式的结果为1。

　　由每个或式向T连一条流量为1的边，表示该或式被满足，且仅有一个变量的取值为1。

　　仅仅这么连还是不够的，因为如果某个变量的正变量和反变量同时出现，那么正变量或反变量中必定有一个值为1，对应到图上则是S向该变量的x部必须有1的流量。

　　所以可以向这条边添加上-1的费用，使得该变量的值优先被满足。

　　跑一遍最小费用最大流，如果是满流且费用的绝对值等于必须被确定值的变量的数量，则说明可以成功满足。

　　输出方案时只需遍历一下残余网络中的边，如果残余网络中没有流量则说明该变量被选择了，最后注意一下细节，确定一下对于每个变量选1还是选0。

参考程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i,x,y) for (int i=x;i<=y;i++)
const int N=1000;
const int INF=2000000000;

int n,m,S,T,sum,minC,maxF;
int lt[N*4],flag[N],dis[N*4],pd[N*4],pre[N*4],sgn[N*4];
vector <int> vec[N];

struct edge{
    int u,v,f,w,nt;
}eg[N*6];

void add(int u,int v,int f,int w)
{
    //cout<<u<<" "<<v<<" "<<f<<" "<<w<<endl; 
    eg[++sum]=(edge){u,v,f,w,lt[u]}; lt[u]=sum;    
    eg[++sum]=(edge){v,u,0,-w,lt[v]}; lt[v]=sum;
}

bool spfa()
{
    queue <int> Q;
    rep (i,S,T) dis[i]=INF,pd[i]=0,pre[i]=-1;
    dis[S]=0; pd[S]=1; Q.push(S);
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();
        for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt)
        {
            int v=eg[i].v;
            if (eg[i].f>0)
            {
                if (dis[u]+eg[i].w<dis[v])
                {
                    dis[v]=dis[u]+eg[i].w;
                    pre[v]=i;
                    if (!pd[v])
                    {
                        Q.push(v);
                        pd[v]=1;
                    }
                }
            }
        }
        pd[u]=0; Q.pop();
    }
    return dis[T]!=INF;
}
void minCmaxF()
{
    int flow;
    while (spfa())
    {
        flow=INF;
        for (int i=pre[T];~i;i=pre[eg[i].u])
            flow=min(flow,eg[i].f);
        for (int i=pre[T];~i;i=pre[eg[i].u])
            eg[i].f-=flow,eg[i^1].f+=flow;
        maxF+=flow;
        minC+=flow*dis[T];
    }
}

int main()
{
    freopen("sat.in","r",stdin);
    freopen("sat.out","w",stdout);
    
    cin.sync_with_stdio(0);
    sum=1; memset(lt,0,sizeof(lt));
    int limit=0;

    cin>>n>>m;
    S=0; T=3*n+m+1;
    rep(i,1,m) 
    {
        int num; cin>>num;
        rep(j,1,num)
        {
            int x; cin>>x;
            flag[abs(x)]++;
            if (x>0) sgn[x]=1; else sgn[x]=-1;
            vec[i].push_back(x);
        }
    }
    rep(i,1,n) if (flag[i]==2) add(S,i,1,-1),limit++; else add(S,i,1,0);
    rep(i,1,n) {add(i,n+2*i-1,1,0); add(i,n+2*i,1,0);}
    rep(i,1,m)
    {
        for (auto v:vec[i]) 
        {
            int x=v>0?n+2*abs(v)-1:n+2*abs(v);
            add(x,n*3+i,1,0);
        }
        add(3*n+i,T,1,0);
    }
    minC=maxF=0;
    minCmaxF();
    vector <int> ans;
    if (minC==-limit && maxF==m)
    {
        cout<<"YES"<<endl;
        for (int i=lt[S];i;i=eg[i].nt)
        {
            if (eg[i].f==1) 
            {
                if (sgn[eg[i].v]==1) ans.push_back(0); else ans.push_back(1);
            }
            else
            {
                if (eg[lt[eg[i].v]].f==0) ans.push_back(0); else ans.push_back(1);
            }
        }
        for (int i=ans.size()-1;i>=0;i--) cout<<ans[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    else cout<<"NO"<<endl;
}