不等式的关系
目录
1-均值&不等式
1.1 算数均值的定义
设算术均值为(A_n)，定义为：
[A_n=frac{x_1+x_2+cdots+x_n}{n}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_i
]
这是最为常见的均值，平均长度、平均外径、平均时长都是用此来衡量。
1.2 几何均值的定义
设几何均值为(G_n)，定义为：
[G_n=sqrt[n]{x_1x_2cdots x_n}=sqrt[n]{prod_{i=1}^{n}x_i}
]
1.3 调和均值定义
设调和均值为(H_n)，定义为：
[H_n=frac{n}{frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}+cdots+frac{1}{x_n}+}=frac{n}{sum_{i=1}^nfrac{1}{x_i}}
]
1-4 平方均值的定义
设平方均值为(Q_n)，定义为：
[Q_n=sqrt[2]{frac{x_1^2+x_2^2+dots+x_n^2}{n}}=sqrt[2]{frac{sum_{i=1}^nx_i^2}{n}}
]
1-5 排序不等式
引理（1）Abel变换
设({a_i}，{b_i})为任意两组有序的实数组，令(B_0=0,B_k=sum_{i=1}^kB_i)，那么(sum_{k=1}^na_kb_k=a_nb_n-sum_{k=1}^{n-1}(a_{k-1}-a_k)B_k).
[egin{align}
sum_{k=1}^na_kb_k&=sum_{k=1}^na_k(B_k-B_{k-1})\
&=a_n(B_n-B_{n-1})+a_{n-1}(B_{n-1}-B_{n-2})+dots+a_1B_1\
&=a_nB_n-(a_nB_{n-1}-a_{n-1}B_{n-1})-(a_{n-1}B_{n-2}-a_{n-2}B_{n-2})-dots-(a_{2}-a_1)B_1\
&=a_nb_n-sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k
end{align}
]
引理（2）级数的重排
对于数列({u_n})按映射(F:u_n o u_{k(n)})所得到的数列({u_{k(n)}})称为原数列的重排。
引理（3）
设({b_i})满足(b_ileq b_{i+1}),且({c_i})是原数列的任意一个排列，那么
[sum_{i=1}^kb_ileqsum_{i=1}^kc_ileqsum_{i=1}^kb_{n-i+1}
]
若存在(1leq k=mleq n)使等号成立，当且仅当 (b_i=b_j，(i eq j)).
排序不等式
设(a1geq a_2geqdotsgeq a_n，b_1geq b_2geqdots b_n)，则有不等关系如下：
[sum_{i=1}^{n}a_ib_igeqsum_{k=1}^na_{i_k}b_{j_k}geq a_nb_1+a_{n-1}b_2+dots+a_1b_n
]
（证法一）
设(m<n,a_mleq a_n，b_{j_m}geq b_{j_n}，j_n eq n)，设(j_n=m，)交换(b_{j_n}和b_{j_m})
[egin{align} S-S_1=&a_mb_{j_m}+a_nb_{j_n}-a_mb_{j_n}+a_nb_{j_m}\ =&a_m(b_{j_m}-b_{j_n})+a_n(b_{j_n}-b_{j_m})\ =&(a_m-a_n)(b_{j_m}-b_{j_n})\ leq&0\ 即:交换后geq&交换前 end{align} ]故最多经过(n-1)次交换，可得到
[S_{max}=sum_{i=1}^{n}a_ib_i\ S_{min}=a_nb_1+a_{n-1}b_2+dots+a_1b_n\ 即：顺序结合geq乱序结合geq逆序结合 ]（证法二）
设：
[逆序积和qquad S=a_1b_n+a_2b_{n-1}+dots+a_nb_1 \ 乱序积和qquad S'=a_1c_1+a_2c_2+dots+a_nc_n \ 顺序积和qquad S''=a_1b_1+a_2b_2+dots+a_nb_n \ ]首先：
[S-S'=a_1(b_n-c_1)+a_2(b_{n-1}-c_2)+dots+a_n(b_1-c_n) ]不妨设，
[B_0=0，B_k=sum_{i=1}^k(b_{n-i+1}-c_i) ]由引理（3），
[B_kgeq0,B_n=0 ]则由Abel变换和({a_i})递增
[egin{align} (a_{k+1}-a_k)B_k&geq0\ herefore S-S'&=a_nB_n-sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k\ &=-sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_kleq0 end{align} ]因此 “逆序积和(leq)乱序积和”。
同理，设：
[B_0'=0，B_k'=sum_{i=1}^k(c_i-b_i) ]有：
[egin{align} S'-S''=&a_1(c_1-b_1)+a_2(c_2-b_2)+dots+a_n(c_n-b_n)\ =&-sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k'leq0 end{align} ]若要使等号成立，则对(k=1,2,dots n-1),有：
[（a_{k+1}-a_k）B_k=0\ （a_{k+1}-a_k）B'_k=0 ]即：
[(i)qquad a_1=a_2=dots=a_n\ (ii)qquad exist min[1,n-1]，s.t.\ qquadqquad a_1=dots=a_m.a_m<a_{m-1}\ qquadqquad 这时必有B_m=0,B'_m=0 ]
1.6 Chebyshev 不等式
由排序不等式：
[nsum_{i=1}^{n}a_ib_igeq(sum_{i=1}^na_i)(sum_{i=1}^nb_i)geq n(a_nb_1+a_{n-1}b_2+dots+a_1b_n)
]
于是得到切比舍夫不等式：
[frac{sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{n}geq(frac{sum_{i=1}^na_i}{n})(frac{sum_{i=1}^nb_i}{n})geq frac{(a_nb_1+a_{n-1}b_2+dots+a_1b_n)}{n}
]
2- 不等关系大小证明
2.1 由Chebyshev不等式证明平方均值大于等于算术均值
设(a_i=b_i)，利用Chebyshev不等式：
[frac{sum_{i=1}^na_i^2}{n}geq(frac{sum_{i=1}^na_i}{n})^2
]
则有(Q_n^2geq A_n^2)，即平方均值大于算术均值。
2.2 利用排序不等式证明算术均值大于等于几何均值
设
[G_n=sqrt[n]{prod_{i=1}^na_i},
b_i=frac{a_i}{G_n},(i=1,2,dots n)\
故b_1dots b_n=1,取x_i>0,使得:
b_i=frac{x_i}{x_{i+1}},..b_n=frac{x_n}{x_1}
]
由排序不等式知：
[egin{align}
sum_{i=1}^{n}b_i
&=frac{x_1}{x_2}+cdots+frac{x_n}{x_1}\
&geq sum_{i=1}^{b}x_ifrac{1}{x_i}\
&=n\
herefore sum_{i=1}^{n}frac{a_i}{G_n}&geq n，即 frac{sum_{i=1}^na_i}{n}geq G_n
end{align}
]
即(A_ngeq G_n)
2.3 利用算术几何均值不等式证明几何均值大于调和均值
[由frac{sum_{i=1}^nfrac{1}{a_i}}{n}geqsqrt[n]{prod_{i=1}^nfrac{1}{a_i}}
]
两边同取倒数，得到：
[sqrt[n]{a_1dots a_n}geqfrac{n}{sum_{i=1}^nfrac{1}{a_i}}
]
即(G_ngeq H_n)
综上所述，我们有：
[Q_ngeq A_ngeq G_ngeq H_n ]