矩阵分析 p13~p20

• 为什么我们需要子空间？

子空间本身按(mathbb{V})中原有的加法数乘运算，也构成一个线性空间；

从映射的角度讲，在子空间上的运算仍然映射到了子空间上；

• 有没有不识子空间的子集合？

在直角坐标系上，用基的角度思考，就是(vec{i},vec{j}) 构成的(mathbb{V})的平面。若把(y=x)直线上的向量看作子空间(mathbb{W})，他对加法、数乘运算封闭。然而在直线 (y=-x+1)上的向量，不能构成一个子空间。

• 向量组生成的子空间 及 子空间的生成组

(alpha_1,alpha_2,...,alpha_p)是向量组，定义：Span{(alpha_1,alpha_2,...,alpha_p)}=({alpha_1c_1,alpha_2c_2,...,alpha_pc_p|c_iinmathbb{F},i=1,2,...,p}=mathbb{W})，即 (alpha_1,alpha_2,...,alpha_p) 的线性组合的全体，则(mathbb{W})是(mathbb{V})的一个子空间。

虽然无法列举出每一个元素，但是可以指出空间的生成元。生成组提供了子空间的一种表现方式。

• 矩阵(Ainmathbb{F}^{m imes n})的核与像

[{x|xinmathbb{F}^{n},Ax=0} ]

是(mathbb{F}^n)的子空间（齐次线性方程组的解空间-Kernel A的核)；

[{y|yinmathbb{F}^m,exist xinmathbb{F}^n,s.t. y=Ax}={Ax|xinmathbb{F}^n} ]

是(mathbb{F}^n)的子空间 （image A的像)。

im A 即为 A 的列向量组所张成的子空间。

• 子空间的交与和

设(mathbb{U},mathbb{W})是 (mathbb{V})的子空间：

1. (Ucap W) 也是子空间，称为(mathbb{U},mathbb{W})的交（子空间）；
2. (mathbb{U}+mathbb{W}=Span{mathbb{U}、mathbb{W}}=Span{mathbb{U}+mathbb{W}|egin{array}{c}u=mathbb{U}\w=mathbb{W}end{array}})也是子空间，称为(mathbb{U},mathbb{W})的和（子空间）；

值得注意的是，并空间不一定是子空间。

线性映射

• 线性映射与线性变换

设(mathbb{V_1}、mathbb{V_2}) 是(mathbb{F})上的线性空间，(sigma:mathbb{V_1} omathbb{V_2})是映射，如果：

1. (sigma(e_1+e_2):sigma(e_1)+sigma(e_2));
2. (sigma(e_1cdot k):sigma(e_1)cdot k).

则称 (sigma) 是(mathbb{V_1}到mathbb{V_2})的线性映射。若实现了对自身的映射，则称为一个变换。

若线性映射是可逆映射，则称其为线性同构。

• 矩阵与标准线性空间之间的线性映射两事物的等同性

给定(Ainmathbb{F}^{m imes n})通过右乘列向量，可决定线性映射(mathcal{A})：

[mathbb{F}^n omathbb{F}^m\ xmapsto y=Ax ]

那么给出一个线性映射，是否能由一个矩阵表达出来呢？

记 (mathbb{F}^n) 的标准基 : (epsilon_1,cdots,epsilon_n) ;

因为(mathcal{A})是一个线性映射，那么(mathcal{A}(epsilon_i)inmathbb{F}^m);

将映射得来的若干列向量拼为矩阵 (Ainmathbb{F}^{m imes n});

• 如何表示？

给定线性映射 (mathcal{A}:mathcal{V} omathcal{W})，dim（V）= n，dim（W）=m；

选取 (mathcal{V}) 的基(epsilon_1,cdots,epsilon_n) ; (mathcal{W}) 的基(eta,cdots,eta_m) ;

第 j 个入口基的向量 (epsilon_j) 的像 (mathcal{A}(epsilon_j)) 在出口基中表示

即

[mathcal{A}(epsilon_j)=[eta,cdots,eta_m] left[egin{array}{c} a_{1j}\a_{2j}\vdots\a_{mj} end{array} ight] ]

则将他们拼成矩阵表示：

[A=left[egin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&cdots\a_{21}&a_{22}&cdots\vdots\a_{m1}&cdots end{array} ight] ]

则称 A 为 (mathcal{A}) 在入口基 和 出口基 下的矩阵表示。

(mathcal{A}[epsilon_1,cdots,epsilon_n]=[eta,cdots,eta_m]A) ;

[[线性映射] left[egin{array}{c} 入\口\基\矩\阵 end{array} ight] = left[egin{array}{c} 出\口\基\矩\阵 end{array} ight] [矩阵表示] ]

• 线性映射用坐标计算

给定线性映射 (mathcal{A}:mathcal{V} omathcal{W})，选取 (mathcal{V}) 的基(epsilon_1,cdots,epsilon_n) ; (mathcal{W}) 的基(eta,cdots,eta_m) ;

给定(mathcal{v}inmathcal{V}) 基坐标为 (x)，则(mathcal{mathcal{v}}inmathcal{W}) 的坐标为 (Ax) ;