概念、性质简述

首先介绍一下链剖分的概念（感谢laofu的讲课）
链剖分，是指一类对树的边进行轻重划分的操作，这样做的目的是为了减少某些链上的修改、查询等操作的复杂度。
目前总共有三类：重链剖分，实链剖分和并不常见的长链剖分

重链剖分

实际上我们经常讲的树剖，就是重链剖分的常用称呼。
对于每个点，选择最大的子树，将这条连边划分为重边，而连向其他子树的边划分为轻边。
若干重边连接在一起构成重链，用树状数组或线段树等静态数据结构维护。
至于有怎样优秀的性质等等，不在本总结的讨论范畴了（其实是因为本蒟蒻连树剖都不会）

实链剖分

同样将某一个儿子的连边划分为实边，而连向其他子树的边划分为虚边。
区别在于虚实是可以动态变化的，因此要使用更高级、更灵活的Splay来维护每一条由若干实边连接而成的实链。
基于性质更加优秀的实链剖分，LCT(Link-Cut Tree)应运而生。
LCT维护的对象其实是一个森林。
在实链剖分的基础下，LCT资磁更多的操作

查询、修改链上的信息（最值，总和等）
随意指定原树的根（即换根）
动态连边、删边
合并两棵树、分离一棵树（~~跟上面不是一毛一样吗~~）
动态维护连通性
更多意想不到的操作（可以往下滑一滑）

想学Splay的话，推荐巨佬yyb的博客

LCT的主要性质如下：

每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
~~是不是有点抽象哈~~
比如有一棵树，根节点为 $1$
每个节点包含且仅包含于一个Splay中
边分为实边和虚边，实边包含在Splay中，而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点（指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。
因为性质2，当某点在原树中有多个儿子时，只能向其中一个儿子拉一条实链（只认一个儿子），而其它儿子是不能在这个Splay中的。
那么为了保持树的形状，我们要让到其它儿子的边变为虚边，由对应儿子所属的Splay的根节点的父亲指向该点，而从该点并不能直接访问该儿子（认父不认子）。

各种操作

$a c c e s s (x)$

LCT核心操作，也是最难理解的操作。其它所有的操作都是在此基础上完成的。
因为性质3，我们不能总是保证两个点之间的路径是直接连通的（在一个Splay上）。
access即定义为打通根节点到指定节点的实链，使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的Splay出现。
~~蒟蒻深知没图的痛苦qwq~~
所以还是来几张图吧。
下面的图片参考YangZhe的论文
有一棵树，假设一开始实边和虚边是这样划分的（虚线为虚边）

那么所构成的LCT可能会长这样（绿框中为一个Splay，可能不会长这样，但只要满足中序遍历按深度递增（性质1）就对结果无影响）

现在我们要 $a c c e s s (N)$

我们接着把 $N$

$I$

$H$

$A - N$

转到根；
换儿子；
更新信息；
当前操作点切换为轻边所指的父亲，转1

inline void access(int x){
    for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
        splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);//儿子变了，需要及时上传信息
}

$m a k e r o o t (x)$

只是把根到某个节点的路径拉起来并不能满足我们的需要。更多时候，我们要获取指定两个节点之间的路径信息。
然而一定会出现路径不能满足按深度严格递增的要求的情况。根据性质1，这样的路径不能在一个Splay中。
Then what can we do?
$m a k e r o o t$

inline void pushr(int x){//Splay区间翻转操作
    swap(c[x][0],c[x][1]);
    r[x]^=1;//r为区间翻转懒标记数组
}
inline void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushr(x);
}

关于pushdown和makeroot的一个相关的小问题详见下方update（关于pushdown的说明）

$f i n d r o o t (x)$

找 $x$

inline int findroot(R x){
    access(x); splay(x);
    while(c[x][0])pushdown(x),x=c[x][0];
//如要获得正确的原树树根，一定pushdown！详见下方update（关于findroot中pushdown的说明）
    splay(x);//此处的问题详见下方update（关于findroot中splay(x)的说明）
    return x;
}

同样利用性质1，不停找左儿子，因为其深度一定比当前点深度小。

$s p l i t (x, y)$

神奇的 $m a k e r o o t$

inline void split(int x,int y){
    makeroot(x);
    access(y);splay(y);
}

x成为了根，那么x到y的路径就可以用 $a c c e s s (y)$

$l i n k (x, y)$

连一条 $x - y$

inline bool link(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x)return 0;//两点已经在同一子树中，再连边不合法
    f[x]=y;
    return 1;
}

如果题目保证连边合法，代码就可以更简单[

inline void link(int x,int y){
    makeroot(x);
    f[x]=y;
}

$c u t (x, y)$

将 $x - y$

inline void cut(int x,int y){
    split(x,y);
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);//少了个儿子，也要上传一下
}

那如果不一定存在该边呢？
充分利用好Splay和LCT的各种基本性质吧！
正确姿势——先判一下连通性，再看看 $x, y$

只有三个条件都满足，才可以断掉。

inline bool cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x||f[x]!=y||!c[x][1])return 0;
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);
    return 1;
}

如果维护了 $s i z e$

inline bool cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x&&sz[y]>2)return 0;
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);
}

解释一下，如果他们有直接连边的话， $a c c e s s (y)$

其实，还有一些LCT中的Splay的操作，跟我们以往学习的纯Splay的某些操作细节不甚相同。
包括 $s p l a y (x), r o t a t e (x), n r o o t (x)$

update（关于findroot中pushdown的说明）

蒟蒻真的一时没注意这个问题。。。。。。Splay根本没学好
找根的时候，当然不能保证Splay中到根的路径上的翻转标记全放掉。
所以最好把pushdown写上。
Candy巨佬的总结对pushdown问题有详细的分析
只不过蒟蒻后来经常习惯这样判连通性（~~我也不知道怎么养成的~~）

makeroot(x);
if(findroot(y)==x)//后续省略

这样好像没出过问题，那应该可以证明是没问题的（makeroot保证了x在LCT的顶端，access(y)+splay(y)以后，假如x,y在一个Splay里，那x到y的路径一定全部放完了标记）
导致很久没有发现错误。。。。。。
另外提一下，假如LCT题目在维护连通性的情况中只可能出现合并而不会出现分离的话，其实可以用并查集哦！（实践证明findroot很慢）
这样的例子有不少，比如下面“维护链上的边权信息”部分的两道题都是的。
甚至听到Julao们说有少量题目还专门卡这个细节。。。。。。XZY巨佬的博客就提到了（~~我太弱啦，暂时并不会~~）

update（关于pushdown的说明）

我pushdown和makeroot有时候会这样写，常数小一点

void pushdown(int x){
    if(r[x]){
        r[x]=0;
        int t=c[x][0];
        r[c[x][0]=c[x][1]]^=1;
        r[c[x][1]=t]^=1;
    }
}
void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    r[x]^=1;
}

这种写法等于说当x有懒标记时，x的左右儿子还是反的
那么如果findroot里实在要写pushdown，那么这种pushdown就会出现问题（参考评论区@ zjp_shadow巨佬的指正）
所以此总结以及下面模板里的pushdown，常数大了一点点，却是更稳妥、严谨的写法

//pushr同上方makeroot部分
void pushdown(int x){
    if(r[x]){
        if(c[x][0])pushr(c[x][0]);//copy自模板，然后发现if可以不写
        if(c[x][1])pushr(c[x][1]);
        r[x]=0;
    }
}
void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushr(x);//可以看到两种写法造成makeroot都是不一样的
}

这种写法等于说当x有懒标记时，x的左右儿子已经放到正确的位置了，只是儿子的儿子还是反的
那么这样就不会出问题啦
两种写法差别还确实有点大呢
当题目中维护的信息与左右儿子顺序有关的时候，pushdown如果用这种不严谨写法会是错的
比如[NOI2005]维护数列（这是Splay题）和洛谷P3613 睡觉困难综合征

update（关于findroot中splay(x)的说明）

某位Julao指出findroot中在找到原树根后（此时x跳到了原树根）应splay(x)，伸展一下，Splay的特性，保证复杂度(好像牵涉到玄学的势能分析，蒟蒻什么也不会啊QvQ)
非常正确的做法。于是本蒟蒻进行了更正，却忘记了进行验证。
后来Destinies巨佬指出第8个点WA。
经过验证之后发现，加上splay(x)以后，点的相对位置发生了变化，导致cut需要更改，更改如下：

I cut(R x,R y){//断边
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x&&f[y]==x&&!c[y][0]){
        f[y]=c[x][1]=0;//x在findroot(y)后被转到了根
        pushup(x);
    }
}

为了避免频繁讨论、修改带来的繁琐，此总结不建议在此模板题里加上splay(x)
因为确实很难找到卡掉不写splay(x)的代码的数据，而且可能带来一点常数。
或许我大多数时候把splay写成单旋（没错就是HNOI2017那种）会比Zig、Zag双旋要快个十几分之一也是这样的道理吧。。。。。。
但这不意味着就不用写了
在比较关键的时候（比如比赛时）该写的总要写。
不管是单旋，还是不splay(x)，都是很容易卡掉的。。。。。。
相信Dalao们都能熟练地在很多种不同的写法中切换的

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放个模板哈：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 300005
using namespace std;
#define sight(x) ('0'<=x&&x<='9')
inline void read(int &x){
    static char c;static int b;
    for (b=1,c=getchar();!sight(c);c=getchar())if (c=='-') b=-1;
    for (x=0;sight(c);c=getchar())x=x*10+c-48; x*=b;
}
void write(int x){if (x<10) {putchar('0'+x); return;} write(x/10); putchar('0'+x%10);}
inline void writeln(int x){ if (x<0) putchar('-'),x*=-1; write(x); putchar('
'); }
inline void writel(int x){ if (x<0) putchar('-'),x*=-1; write(x); putchar(' '); }
int anw[N],val[N],f[N],ch[N][2],z,y,q[N],top,rev[N],kind,n,m,qq,x;
inline void push_up(int x){
    anw[x]=val[x]^anw[ch[x][0]]^anw[ch[x][1]];
}
inline void push_down(int x){
    if (rev[x]) {
        rev[ch[x][0]]^=1; rev[ch[x][1]]^=1; rev[x]=0;
        swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    }
}
inline bool rt(int x){
    return ch[f[x]][0]!=x&&ch[f[x]][1]!=x;
}
inline void ro(int x){
    int y=f[x],z=f[y];
    kind=(ch[y][0]==x);
    if (!rt(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x;
    f[ch[x][kind]]=y; f[y]=x; f[x]=z;
    ch[y][kind^1]=ch[x][kind]; ch[x][kind]=y;
    push_up(y); push_up(x);
}
inline void splay(int x) {
    top=1;
    q[top]=x;
    for (int i=x;!rt(i);i=f[i]) q[++top]=f[i];
    while (top) push_down(q[top--]);
    while (!rt(x)) {
        int y=f[x],z=f[y];
        if (!rt(y)) 
        {
           if (ch[y][0]==x^ch[z][0]==y) ro(x); 
           else ro(y);
        }
        ro(x);
    }
//    push_up(x);
}
inline void access(int x){
    for (int t=0;x;t=x,x=f[x]) splay(x),ch[x][1]=t,push_up(x);
}
inline void make_rt(int x){
    access(x); splay(x); rev[x]^=1; //
}
inline void split(int x,int y){
    make_rt(x); access(y); splay(y);
}
inline void link(int x,int y){
    make_rt(x); f[x]=y;
}
inline int find(int x) {
    access(x); splay(x); while(ch[x][0]) push_down(x),x=ch[x][0]; return x;
}
inline void cut(int x,int  y){//断边
    make_rt(x);
    if(find(y)==x&&f[x]==y&&!ch[x][1]){
        f[x]=ch[y][0]=0; push_up(y);
    }
}
signed main () {
    read(n); read(m);
    for (int i=1;i<=n;i++) read(val[i]);
    while (m--) {
        read(qq); read(x); read(y);
        switch(qq) {
            case 0: split(x,y); writeln(anw[y]);break;
            case 1: if (find(x)^find(y)) link(x,y);break;
            case 2: if (find(x)==find(y)) cut(x,y); break;
            case 3: splay(x); val[x]=y;  break;
        }
    } return 0;
}

LCT

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概念、性质简述

重链剖分

实链剖分

各种操作

access(x)access(x)

makeroot(x)makeroot(x)

findroot(x)findroot(x)

split(x,y)split(x,y)

link(x,y)link(x,y)

cut(x,y)cut(x,y)

update（关于findroot中pushdown的说明）

update（关于pushdown的说明）

update（关于findroot中splay(x)的说明）

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$a c c e s s (x)$

$m a k e r o o t (x)$

$f i n d r o o t (x)$

$s p l i t (x, y)$

$l i n k (x, y)$

$c u t (x, y)$