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  • 同余关系 等价关系 同余关系的原型

     小结:

    1、同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系

    https://baike.baidu.com/item/同余关系

    https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

    https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation

    https://baike.baidu.com/item/等价关系

     等价关系定义为:设R是非空集合A上的二元关系,若R是自反的、对称的、传递的,则称R是A上的等价关系。研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类,选取每类的代表元素来降低问题的复杂度,如软件测试时,可利用等价类来选择测试用例。

    定义1
    设 R 是集合 A 上的一个二元关系,若R满足:
    自反性:∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R
    对称性:(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R
    传递性:(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R
    则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系,若(a, b) ∈ R,则称a等价于b,记作 a ~ b 。
     
    例一:
    同班同学关系、同乡关系是等价关系。
    平面几何中三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系。
    平面几何中直线间的平行关系是等价关系。
    例二:
    设A = {1, 4, 7},定义A上的关系R如下:
    R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }
    其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余,即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。
    设 f 是从 A 到 B 的一个函数,定义 A 上的关系 R :aRb,当且仅当f(a) = f(b),R 是 A 上的等价关系。
     
     
     同余关系的原型 
     

    The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo  n on the set of integers. For a given positive integer n, two integers a and b are called congruent modulo n, written

    a equiv b pmod{n}

    if a-b is divisible by n (or equivalently if  a and b have the same remainder when divided by n).

    for example, 37 and 57 are congruent modulo 10,

     37equiv 57{pmod  {10}}

    since 37-57=-20 is a multiple of 10, or equivalently since both  37 and 57 have a remainder of 7 when divided by  10.

    Congruence modulo  n (for a fixed  n) is compatible with both addition and multiplication on the integers. That is,

    if

     {displaystyle a_{1}equiv a_{2}{pmod {n}}} and {displaystyle b_{1}equiv b_{2}{pmod {n}}}

    then

     {displaystyle a_{1}+b_{1}equiv a_{2}+b_{2}{pmod {n}}} and {displaystyle a_{1}b_{1}equiv a_{2}b_{2}{pmod {n}}}

    The corresponding addition and multiplication of equivalence classes is known as modular arithmetic. From the point of view of abstract algebra, congruence modulo  n is a congruence relation on the ringof integers, and arithmetic modulo  n occurs on the corresponding quotient ring.

     

    元型例子是模算术:对于一个正整数n,两个整数ab被称为同余模n,如果a − b整除于n(还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数)。

    例如,5和11同余模3:

    11 ≡ 5 (mod 3)
     
     
    数学特别是抽象代数中,同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系
    In abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a groupring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements.[1] Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation.[2]
     
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