离散数学 II（知识点汇总）
代数系统
代数系统定义
一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk，所组成的系统就称为一个代数系统，记作<A， f1,f2,…,fk >。
例子
例：<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>都是代数系统,其中+和·分别表示普通加法和乘法。
例：<Mn(R),＋,·>是代数系统,其中＋和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法。
例：<ρ(S),∪,∩,~ >也是代数系统，其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算 ~。
二元运算定义
S为非空集合，从S×S->S的映射： f: S×S->S称为集合S上的一个二元运算。
运算及其性质
二元运算的性质
封闭性
- Premise：(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,yin A)
- Condition：( x*yin A)
- Summary：(*)在A上是封闭的
可交换性
- Premise：(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,yin A)
- Condition：(x*y=y*x)
- Summary：(*)在A上是可交换的
可结合性
- Premise：(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,y,zin A)
- Condition：((x*y)*z=x*(y*z))
- Summary：(*)在A上是可结合的
可分配性
- Premise：(*, riangle)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,y,zin A)
- Condition：(x*(y riangle z)=(x*y) riangle (x*z))、((y riangle z)*x=(y*x) riangle (z*x))
- Summary：在A上，(*)对于$ riangle $是可分配的
吸收律
- Premise：(*, riangle)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,yin A)
- Condition：(x*(x riangle y)=x)、(x riangle (x*y)=x)
- Summary：(*)和$ riangle $在A上满足吸收律
等幂性
- Premise：设(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall xin A)
- Condition：(x*x=x)
- Summary：(*)在A上是等幂的
消去律
- Premise：设(*)是定义在集合A上的二元运算， (forall x,y,z in A)
- Condition：（左消去律）(x*y=x*zRightarrow y=z)、（右消去律）(y*x=z*xRightarrow y=z)
- Summary：(*)在A上是满足消去律的
特殊的元素性质
(*)是定义在集合A上的二元运算
幺元
- 左幺元：对于(e_lin A, forall xin A, e_l*x=x)
- 右幺元：对于(e_rin A, forall xin A, x*e_r=x)
- 幺元：对于(ein A)，(e)既是左幺元又是右幺元
零元
- 左零元：对于( heta_lin A, forall xin A, heta_l*x= heta_l)
- 右零元：对于( heta_rin A, forall xin A, x* heta_r= heta_r)
- 零元：对于( hetain A)，(e)既是左零元又是右零元
逆元
设在代数系统(<A,*>)中，(*)为二元运算，e为A中关于(*)的幺元，(a,bin A)
- 左逆元：(b*a=e)，则b为a的左逆元
- 右逆元：(a*b=e)，则b为a的右逆元
- 逆元：b既是a的左逆元又是右逆元，则b为a的逆元，记为a^-1^
- 此时有a与b互为逆元
证明逆元且唯一定理
- Premise：(forall ain A)，e为A的逆元，(*)为A的二元运算
- Condition：a都有左逆元，(*)可结合
- Summary：a的左逆元为a的逆元且唯一
二元运算表中性质的体现
(*)是定义在集合A上的二元运算
- 封闭性(Leftrightarrow)运算表中所有元素(in A)
- 可交换性(Leftrightarrow)运算表中所有元素沿对角线对称
- 等幂性(Leftrightarrow)运算表中主对角线元素等于本身
- 零元(Leftrightarrow)该元素运算行列元素与其本身相同
- 幺元(Leftrightarrow)该元素运算行列元素与其对应的行列元素一致
- 逆元(Leftrightarrow)两元素行列相交处都是幺元
半群
广群
成立条件
- (*)运算封闭
半群
定义
- (*)运算封闭
- (*)运算可结合
特性
- A元素有限，则必有等幂元
证：
∵ <S, *>是半群，∴对于(forall)b (in)S，由运算*封闭可知:
b^2^=b*b(in)S，b^2^ *b=b*b^2^=b^3^(in)S ，b^4^，b^5^… (in)S
∵ S有限，∴必定(exists)i,j，j>ｉ，有b^i^=b^j^（第一轮）
∴ b^i^ =b^j^ =b^j-i^ * b^i^
令p=j-i ，则有 b^i^ =b^p^ * b^i^
∴ 对任意q≥i, 有b^q^= b^p^ *b^q^ （第二轮）
又∵p≥1 ∴$exists $k,有kp≥i，则有b^kp^=b^p^ *b^kp^ （第三轮）
由b^kp^=b^p^ *b^kp^得： b^kp^=b^p^ *b^kp^=b^p^ *(b^p^ *b^kp^)=…=b^kp^ *b^kp^
∴令a=b^kp^ (in)S 则a*a=a，∴b^kp^是等幂元。
子半群
- (Bsubseteq A)
- (*)在B上运算封闭
独异点
成立条件
- 为半群
- 含幺元
特性
- 运算表任意两行两列都不相同
证：
设独异点中幺元为e，对于任意 a,bS且a≠b，总有
（1）∵a*e=a ≠ b=b*e
由a，b任意性， 有<S, *>运算表中任两行不同；
（2）∵e*a = a ≠ b = e*b
由a，b任意性，有<S, *>运算表中任两列不同。
- 若a，b均有逆元，则
- ((a^{-1})^{-1}=a)
- (a*b)有逆元，且((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})
证：
a) ∵a^-1^是a的逆元
∴a^-1^既是a的左逆元又是a的右逆元
即：a^-1^ *a=a *a^-1^=e
∴a既是a^-1^的右逆元又是a^-1^的左逆元，
∴ a是a^-1^的逆元 即(a^-1^)^-1^=a
b) 要证(a *b)^-1^=b^-1^ *a^-1^，即证b^-1^ *a^-1^为a*b的逆元。
∵(a*b) *(b^-1^ *a^-1^)=a* (b*b^-1^) *a^-1^=a*e*a^-1^=e
∴b^-1^ *a^-1^是a*b的右逆元，
又∵（b^-1^ *a^-1^）*（a *b）=b^-1^ *（a^-1^ *a）*b＝e
∴b^-1^ *a^-1^是a*b的左逆元，
∴(a*b)^-1^=b^-1^ *a^-1^
证明是半群或独异点
按定义证明
群和子群
群
定义
- 运算封闭
- 可结合
- 存在幺元e
- 对于每一个元素(xin G)，存在逆元$x^{-1}
阶数、有限群、无限群
如果(<G,*>)为群且元素有限，则称为有限群，元素个数称为群的阶数，否则称为无限群
1阶、2阶、3阶、4阶群
1~4阶都有循环群，可以用mod运算推
4阶还有克莱因四元群，如下
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
特性
- 阶大于1的群中不可能有零元
证：
（1）当群的阶为1时，它的唯一元素视作幺元e；
（2）设|G|>1且群<G, *>中有零元q，那么群中
∀x∈G，*都有q*x=x*q=q ≠ e
所以零元q不存在逆元，这与<G, *>是群矛盾。
- $forall a,bin G, exists (唯一的)x, a*x=b$
证：
（1）存在性
设群<G, *>的单位元为e，令x=a^-1^ *b， 则
a*x＝a*(a^-1^ *b)＝(a*a^-1^) *b＝e*b=b
所以x＝a^-1^ *b是方程a*x＝b的解。
（2）唯一性
若还有x′∈G， 使得a*x′=b， 则
x′=e*x′
=(a^-1^ *a)*x′=a^-1^ *(a*x′)=a^-1^ *b=x
故x＝a^-1^ *b是方程a*x＝b的唯一解。
- 满足消去律
证：
a*b＝a*c
$Rightarrow $ a^-1^ *(a*b)＝a^-1^ *(a*c)
$Rightarrow $ (a^-1^ *a) *b＝(a^-1^ *a)*c
$Rightarrow $ e*b＝e*c
$Rightarrow $ b＝c
幂特性
- 除了幺元外，不存在其他等幂元
- 关于逆元,群中任一元素逆元唯一，且有：
- ((a^{-1})^{-1}=a)
- ((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1})
- ((a^{n})^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n})
证：
已学定理5-2.4：设代数系统<A, *> ， A中存在幺元e，且$forall $x∈A，都存在左逆元，若*是可结合的运算，那么<A, *> 中任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。
证明：
∵群满足结合律，且群中每个元素都有逆元，
∴每个元素都有左逆元，
∴每个元素的逆元唯一。
运算表特性
- 每一行与每一列都是G元素的一个置换，没有相同元素
- 运算表中任意两行或者两列都不相同
运算
AB={ab|a∈A,b∈B}
A^-1^={a^-1^|a∈A}
gA={ga|a∈A}
子群
记为H(leq)G，真子群记为H<G
定义
- 为一个群的非空子集
- 也为群
判定条件
- 非空(Ssubseteq G)，且S也是群
- 非空(Ssubseteq G)，G为有限群，S中运算封闭
- 非空(Ssubseteq G)，有(a*b^{-1}in S)
性质
若<H, *>和<K, *>为<G, *>子群，则
- <H(cap)K, *>也是子群
- <H(cup)K, *>是子群 当且仅当 H(subseteq)K或K(subseteq)H
- HK是子群 当且仅当 HK=KH
平凡子群
(S={e}quad ORquad S=G)
中心
对于(C={y|y*a=a*y,yin G})，则<C, *>为子群，称为G的中心
共轭子群
若H为G子群，则xHx^-1^={x*h*x^-1^|h ∈H}也是G的子群，称xHx^-1^是H的共轭子群
阿贝尔群和循环群
阿贝尔群 / 交换群
定义
- 是群
- (*)可交换
判定
- 是群，且(forall a,bin G, (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b))
证：
充分性 即证a*b=b*a。
∵ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 且<G,*>是群，*可结合
∴ a*(b*a)*b=a*(a*b)*b
∴ a^-1^ *(a*(a*b)*b)*b^-1^=a^-1^ *(a*(b*a)*b)*b^-1^
即有：a*b=b*a， ∴ <G,*>是阿贝尔群。
必要性 ∵ <G,*>是阿贝尔群，
∴对∀a,b∈G，有：a*b=b*a
∴ (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)
循环群
定义
(exists ain G, forall bin G)，b都能表示成a的幂，a称为生成元
特性
- 是阿贝尔群
- 如果是有限群，阶数为n，则
- 幺元为a^n^
- 有(psi(n))个生成元,（欧拉函数，表示小于n且与n互质的正整数个数）
- G的其他生成元即(a^k)，k与n互质
- 若阶数无限，则只有两个生成元e和e^-1^
元素的阶
定义
最小正整数k使某一元素(a^k=e)，则k为a的阶（周期）
性质
-
a^k^=e (iff) r | k
（k是r的整数倍，即存在整数m，使得k=rm ）
证：
充分性：r | k (Rightarrow) a^k^=e
设 r | k，则存在整数m，使得k=rm，
a^k^= a^rm^=(a^r^)^m^=e^m^=e
必要性：a^k^=e (Rightarrow) r | k
若a^k^=e，由带余除法，一定存在整数p,q，使得
k=pr+q(0≤q<r)，于是a^k^=a^pr+q^=a^pr^ *a^q^=(a^r^)^p^ *a^q^ =(e)^p^ *a^q^ =e*a^q^ =a^q^ =e （a^k^=e）
∵ r是a的阶,即使得a^r^=e的最小正整数
∴只有q=0才可能有a^q^ =e， ∴ k=pr 即r | k。
- O(a)= O(a^-1^)（元素与其逆元的阶相同）
证：
O(a)= O(a^-1^)（元素与其逆元的阶相同）
证：∀a∈G，a的阶为r, a^-1^的阶为r’,
则 (a^-1^)^r’^=e ，a^r^=e
∵ (a^r^)^-1^ *a^r^=e 且a^r^=e，
∴ (a^r^)^-1^=e（ (a^r^)^-1^与e做运算=e，则(a^r^)^-1^必=e）
由红色部分可得(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r’^=e－－－－－①
∵ <G,*>是群，即(a^n^)^-1^=(a^-1^)^n^成立，则
(a^r^)^-1^=(a^-1^)^r^ 成立－－－－－②
由①②可得，(a^-1^)^r^ =(a^-1^)^r’^=e
∵ 已知r’是a^-1^的阶，即r’是使得(a^-1^)^k^ =e的最小正整数，
∴ r=mr’（m为正整数),即r’|r。 (定理中的(1)刚证明过)
同理可证r|r’。
(a^-1^)^r’^= (a^r’^)^-1^=e
∵ (a^r’^)^-1^ * a^r’^=e
∴ a^r’^=e
∵ 已知r是a的阶，即r是使得(a)^r^ =e的最小正整数，
∴ r’=mr (m为正整数),即r|r’ .由r’|r与 r|r’即可证得r=r’。
- r ≤ |G|（元素的阶一定小于等于群的阶）
证：
一个元素a, a的阶是r,且r>|G|,则由a可生成一个集合S={a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^}，因为运算*封闭，所以S⊆G, 则S的元素个数小于|G|.
然后证明a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^各不相同。
若不然，假设S中存在两个元素相同：
a^i^=a^j^,其中1≤i<j≤r，就有e=a^j-i^ (1≤ j-i<r,a^i^=a^j^右侧同*a-i)，而已知r是使得a^r^=e的最小整数。
a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^都各不相同，即集合S的元素个数大于|G|，与S⊆G矛盾。综上，r≤|G|
子群性质
- 循环群的子群也是循环群
- 循环群是无限阶的，则其子群除了{e}也是无限阶的
- 循环群是n阶的，对于每个n的因子，有且只有一个循环子群
置换群和伯恩赛德定理
置换
成立条件
- 对于非空集合S，(S ightarrow S)的双射称为S的置换
运算
先运用(pi_2)，再运用(pi_1)
- 左复合 $circ (：)pi_1circpi_2$
- 右复合 $diamond (：)pi_2diamondpi_1$
置换群
定义
- 具有n个元素的集合S中所有的置换组成的群(<S_n,circ>)，其中元素个数有 n! 个
- 任意(<S_n,circ>)的子群都是S上的置换群
对称群
(S_n)称为S的对称群
交错群
(S_n)中所有偶置换组成的群，记为(A_n)，(|A_n|=n!/2)
轮换
定义
设s是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
[s(i_1)=i_2, s(i_2)=i_3, …, s(i_k-1)=i_k, s(i_k)=i_1 ]且(forall xin S, x e i_j (j=1,2,…,k))，有 s(x)=x（即s 不改变其余元素），称s是S上的一个k阶轮换, 当k=2, s也称为对换。
记法
((i_1,i_2,...,i_k))
对换
定义
k=2时
性质
-
任意轮换可以写成对换的乘积。即
(a1 a2…ar)＝(a1 ar)(a1 ar-１)…(a1 a3)(a1 a2)
诱导的二元关系
定义
设(<G,circ>)为S的一个置换群，则其诱导的二元关系有
[R={<a,b>|pi(a)=b, piin G} ]
性质
- 是一个等价关系（条件：自反性、对称性、传递性）
三元素集的置换群
对称群
S~3~={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
交错群
A~3~={ (1), (1 2 3), (1 3 2) }
伯恩赛德定理
(pi)是划分S的置换群的一个置换，(phi(pi))指置换中不变元个数
陪集和拉格朗日定理
陪集
定义
设H是G的子群，(ain G)，则
- aH={a*h|h∈H} H关于a的左陪集
- Ha={h*a|h∈H} H关于a的右陪集
a称为陪集的代表元素
性质
元素(Rightarrow)陪集
-
陪集元素个数相等，(forall ain G)，|aH|=|H|
-
a∈H$iff $aH=H，Ha=H
-
a∈aH
-
b∈aH $iff $ bH=aH
陪集与陪集
- aH和bH关系只有两种
- aH∩bH=(varnothing)（Ha∩Hb=(varnothing)）
- aH=bH（Ha=Hb）
陪集(Rightarrow)元素，a/b属于同一陪集
- aRb (iff) a^-1^ *b∈H (iff) b∈aH (iff) aH=bH
所有左陪集的集合∑刚好是G的一个划分
特殊关系
划分
- 每个元素非空。不存在空块
- 所有元素并集为G
- 任两个元素交集为空
等价关系
关系R满足自反、对称、传递
- 若<x,y>(in)R，称x等价于y，记作x~y
等价类
有等价关系的元素组成的一个集合，记为[a]~R~
- a称为[a]~R~的代表元素
商集 A/R
以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集
子群的指数
G对H的陪集的集合的基数，即陪集的数目，记为[G:H ]
拉格朗日定理
H为G的子群，则：
- R={<a,b>|a∈G,b∈G且a^-1^ *b∈H}是G上的一个等价关系。对于a∈G，若记[a]~R~={x|x∈G且<a,x>∈R}，则[a]~R~=aH
- 如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m|n。
推论
- 素数阶群的子群一定是平凡群。（素数阶的群不存在非平凡子群）
- 设<G,*>是n阶群，则对任意a∈G，有a^n^=e
- 有限群中，元素的阶能整除群的阶
- 素数阶群一定是循环群，且每个非幺元均为生成元
正规子群和商群
正规子群 / 不变子群
定义
H(leq)G，(forall gin G)，gH=Hg，记为H(unlhd)G
判别
(forall ain G)，
- aH=Ha，（即H(unlhd)G）
- (forall hin H)，aha^-1^(in)H
- aHa^-1^(subseteq)H
- aHa^-1^=H
如果G是交换群，则G的任何子群都是正规子群
[G:H]=2 ， 则H是G的正规子群
单群
G除了平凡子群外无其他正规子群
性质
- 正规子群与子群的乘积是子群
- 正规子群与正规子群的乘积是正规子群
- 无传递性
商群
运算
在G/H上定义陪集乘法运算∙，对于任意aH,bH∈G/H, 有
定义
设G为群，H为正规子群，则G/H关于运算∙构成一个群，称为G的商群
性质
- 商群G/H的单位元是eH（=H）
- 在G/H中aH的逆元是a^-1^H
推论
- 若G是交换群，G/H也是交换群
- 商群的阶是G阶数的因子
同态与同构
同态映射 / 同态 ~
定义
<A,(star)>与<B,*>满足(f(a_1star a_2)=f(a_1)*f(a_2))
称 f 为同态映射 / 同态，<A,(star)>同态于<B,*>
记为 A~B
同态象
<f(A), *>为<A,(star)>的一个同态象
自然同态
群G到商群G/H的同态，为 a( ightarrow)aH
分类
- f:A( ightarrow)B 为满射，f 称为满同态
- f:A( ightarrow)B 为入射，f 称为单一同态
- f:A( ightarrow)B 为双射，f 称为同构映射
同构
f 为同构映射时，称<A,(star)>与<B,*>同构，记为A(cong)B
- 同构关系是等价关系
凯莱定理
任何一个有限群同构于一个置换群。
置换群即运算表中所有行 OR 所有列。
自同态 / 自同构
自身到自身的映射
同态映射性质
在 f 作用下
- <A, $star $>的所有性质在同态象上保留
- 若同构，则<B, *>拥有<A, $star $>的所有性质
同态核
定义
A中元素映射 f 后为幺元。记为 Ker(f)，称为 f 的同态核
Ker(f) = {x|x∈G且f(x)=e’}
性质
- 同态核N为A的正规子群
- f 为单同态 (iff) Ker(f)={e}
- 若Ker(f)=N ，则 f(a)=f(b) (iff) aN=bN
同态基本定理
- 若 f 为A到B的满同态，Ker(f)=N，则A/N(cong)B
- 若h为A自然同态，存在A/N到B的同构g，有f=gh
第一同构定理 / 商群同构定理
- 若 f 为A到B的满同态，Ker(f)=N，H(unlhd)A 且 N(subseteq)H
- 则 A/H (cong) B/f(H)
- 若 H(unlhd)A 且 K(unlhd)A 且 K(subseteq)H
- 则 A/H (cong) (A/K) / (H/K)
环与域
定义
对于<A, +, ·>有两种二元运算的代数系统
<A, +>是阿贝尔群
<A, ·>是半群
运算 · 对于 + 是可分配的，即(forall a,b,cin A)：
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
(b+c)·a=(b·a)+(c·a)
为了区别环中的两个运算，通常称＋运算为环中的加法，·运算为环中的乘法。
零元
加法单位元，记为0(( heta))
单位元
乘法单位元，记为1
负元
加法逆元，记为-x
逆元
乘法逆元，记为x^-1^
例子
- <R,＋,·> 实数环
- <Q,＋,·> 有理数环
- <I,＋,·> 整数环
- <M~n~(I),＋, ·> n阶整数矩阵环
- <N~k~ , ＋~k~ , ×~k~> 模k整数环
- <Z[i], ＋, ·>(Z[i]=a+bi,a,b(in)Z,i^2^=-1) 高斯整数环 (复数)
- <R[x] ,＋, ·> R[x]为实数多项式
性质
与理解的加法乘法相同，消去律不一定
- a·( heta)=( heta)·a=( heta)
- a·(–b)=(–a)·b = –(a·b)
- (–a)·(–b)=a·b
- a·(b–c)=(a·b)–(a·c)
- (b–c)·a=(b·a)– (c·a)
特殊环
交换环
<A, · >可交换
含幺环
<A, · >含幺元
无零因子环
（等价于乘法消去律）
(forall a,bin A, a eq heta, b eq heta)，则必有(a·b eq heta)
零因子
若(a,bin A, a eq heta, b eq heta)，有(a·b= heta)，则a或b为零因子
整环
定义
（基于乘法运算的性质）
交换、无零因子 OR 含幺、无零因子
即同时满足交换环、含幺环和无零因子环的条件
子环
定义
环的子集，也是环
判定定理
(forall a,bin S,a-bin S,a·bin S)
域
定义
满足如下：
- <A, +>是阿贝尔群
- <A - {( heta)}, ·>是阿贝尔群
- 运算 · 对运算＋是可分配的
例子
- 实数域
- 有理数域
- 〈Z~n~,+~n~, · ~n~ 〉是域的充要条件是n是素数
域与整环的关系
- 域一定是整环
- 有限整环一定是域
环的同态定义
设V~1~=<A,*,∘>和V~2~=<B,⊛,◎>是两环，其中*、∘、⊛和◎都是二元运算。f 是从A到B的一个映射，使得对(forall)a, b(in)A有：
f(a*b)=f(a)⊛f(b)
f(a∘b)=f(a)◎f(b)
则称f是环V1到环V2的同态映射
分类
如果f是单射、满射和双射，分别称f是单同态、满同态和同构
同态像及其特性
<f(A),⊛,◎>是<A,*,∘>的同态像。
- 任何环的同态像是环
综合例题
设<R,+, · >是环，其乘法单位元记为1，加法单位元记为0，对于任意a,b(in)R,定义
a⊕b=a+b+1,a⊙b=a·b+a+b。求证： <R, ⊕, ⊙ >也是含幺环，并与<R,+, · >同构。
证明：
首先证明<R, ⊕, ⊙ >是环。
（1） <R, ⊕ >是阿贝尔群。
（2） <R, ⊙ >是含幺半群。
（3） ⊙对⊕可分配，再证明同构。
（4）构造双射f: f(a)=a-1,验证同构性。
（1） <R, ⊕ >是阿贝尔群。
显然R关于⊕是封闭的且⊕运算是可交换的。
结合性：对于任意的x,y,z(in)R,有
(x⊕y)⊕z=(x+y+1)⊕z=x+y+z+2,而
x⊕(y⊕z )= x⊕ (y+z+1)=x+y+z+2, 即⊕运算满足结合律。
幺元：对于任意x(in)R， x⊕-1= x+(-1)+1=x,-1是R关于⊕运算的幺元。
逆元：对于任意x(in)R， x⊕（-x-2)= x+(-x-2)+1=-1, +(-x-2)是x关于⊕运算的逆元。
所以<R, ⊕ >是阿贝尔群。
（2） <R, ⊙ >是含幺半群。
显然R关于⊙是封闭的、可交换的。
结合性：对于任意的x,y,z ÎR,有
(x ⊙ y) ⊙ z=(xy+x+y) ⊙ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z,而
x ⊙(y ⊙ z )= x ⊙ (yz+y+z)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z, 即⊙运算满足结合律。
幺元：对于任意xÎR， x ⊙ 0=0+ x+0=x，0是R关于⊙运算的幺元。
所以<R, ⊙ >是含幺半群.
（3） ⊙对⊕可分配
对于任意的x,y,z(in)R,有
x⊙(y⊕z )= x⊙(y+z+1)=xy+xz+x+x+y+z+1=xy+xz+2x+y+z+1
(x⊙y)⊕(x⊙z)=(xy+x+y)⊕(xz+x+z)=xy+xz+2x+y+z+1
同理可以证明右可分配性。
综上所述， <R, ⊕, ⊙ >也是含幺环
再证明同构。
构造双射f: f(a)=a-1,验证同构性。
（4）证明同构。构造函数f: f(x)=x-1
双射：对于任意x(in)R,则有x+1(in)R，使得f(x+1)=x，所以f是满射
x，y(in)R,若f(x)=f(y),则有x-1=y-1,即x=y,所以f是单射。
同态： f(x+y)=x+y-1
f(x)⊕f(y)=(x-1)⊕(y-1)=x-1+y-1+1=x+y-1
所以f(x+y)= f(x)⊕f(y)
又因为 f(x·y)=x·y-1
f(x)⊙f(y)=(x-1) ⊙(y-1)=(x-1)· (y-1)+x-1+y-1
=x·y-x-y+1+x-1+y-1=x·y-1
所以f(x·y)= f(x)⊙f(y)
综上，<R, ⊕, ⊙ >与<R,+, ∘ >同构。