减绳子 [二分查找]

减绳子

文章目录

• 减绳子
• • 题目描述
  • 思路分析
  • 解题代码
  • • Java
    • C++

题目描述

有N根绳子，第i根绳子长度为LiLi，现在需要M根等长的绳子，你可以对N根绳子进行任意裁剪（不能拼接），请你帮忙计算出这M根绳子最长的长度是多少。

输入格式

第一行包含2个正整数N、M，表示原始绳子的数量和需求绳子的数量。

第二行包含N个整数，其中第 i 个整数Li表示第 i 根绳子的长度。

输出格式

输出一个数字，表示裁剪后最长的长度，保留两位小数。

数据范围

1≤N,M≤100000
0<Li<10e9

输入样例：

3 4
3 5 4

输出样例：

2.50

样例解释

第一根和第三根分别裁剪出一根2.50长度的绳子，第二根剪成2根2.50长度的绳子，刚好4根。

思路分析

题目中提到有N根不同长度的绳子，要分成M根等长的，不能拼接。

根据题目要求，我们要得到满足如下条件的长度数。

• 能分成M根等长
• 长度尽可能，是它能分成M根长度集合中最大的一个长度。

算法：二分查找（折半查找）

时间复杂度：$O(lo{g}_n)$

什么是二分查找？

图：

如上图：

我们在如图的有序数组中，查找 数字 8！！

用遍历的方法查找，当要查找的数字在最后的时候，我们必须遍历整个数组，才能找到答案。同时时间复杂度$O(n)$

用二分查找法，首先使用条件，是在一个有序数组中。我们通过找到该数组中间数，与 8 进行比较，6 < 8,就可以表明 6 之前的数一定小于 8，这样就可以减少当前数组的一半搜索范围，在新的数组范围中，又进行上面的操作，当 l == r 就是答案了。

此题

我们通过 二分答案 的方式来一步步接近正确答案。 也就是说 可以将题中的木棍长度的范围，看作是从 0 ~ 1e9的一个有序数组。

每次拿中间的数来，判断能不能裁剪出大于等于M个木棍，如果裁剪出了，就将范围缩小，因为我们找的是能够裁剪出大于等于M个木棍且长度最大的。也就是如果中间的数都满足 大于等于M个木棍这个条件，那么也就说明长度小于当前裁剪木棍的长度都能满足大于等于M个木棍，但是长度是不是最大的。所以因该将范围缩小到 大于当前木棍长度的范围。

解题代码

Java

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);

        int n = cin.nextInt();
        int m = cin.nextInt();

        double[] a = new double[n];
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            a[i] = cin.nextDouble();
        }
        double ans = bearsh(a, m);
        System.out.printf("%.2f", ans); // 保留2位小数并四舍五入
    }
    
    public static boolean check(double[] a, double m, int n) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < a.length; ++ i) {
            sum += a[i]/m;// 计算裁剪的 数目
            if (sum >= n) return true;// 如果满足条件直接返回，不用继续计算剩下的
        }
        return false;
    }
    
    public static double bearsh(double[] a, int n) {
        double l = 0;
        double r = 1e9;
        while(r - l > 1e-5) { // 因为计算机存储浮点数是有误差的，所以我们设定一个误差范围，当误差小于 1e-5时候，我们就视为l与r相等，然后就结束循环
            double m = (l + r) / 2;
            if (check(a, m, n)) l = m; // 判断当前 裁剪当前长度的木棍是否满足大于等于 M根的条件， 满足则 将小于 M的范围舍去。
            else r = m;// 不满足说明，大于 当前选定的裁剪长度的选项都不能满足 大于等于M根的条件
        }

        return l;
    }
}

C++

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
double a[N];
int n, m;
bool check(double mid) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
        sum += a[i]/mid;
        if (sum >= m) return true;
    }
    return false;
}
double breash() {
    double l = 0;
    double r = 1e9;
    while (r - l > 1e-5) {
        double mid = (l + r)/2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    return l;
}
int main() {
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
        cin >> a[i];
    }
    
    double ans = breash();
    printf("%.2lf", ans);
    return 0;
    
}