数位dp从lv1到lv2

上一篇windy数的记忆化搜索做法里，开了一个dp[pos][pre][lim][zero]数组,这个数组可以减少一维，把zero那维去掉,但是在dfs的参数里还是要保留zero的

考虑到在记忆化搜索过程中，大部分数都是zero==0,只有少数数是zero==1,所以我们只对zero==0的情况做记忆化处理

int dp[12][10][2]; // dp[pos][pre][lim]
int dfs(int pos, int pre, bool lim,bool zero) {
	if (~dp[pos][pre][lim]&&!zero) return dp[pos][pre][lim];
	if (!pos) {
		if (!zero) return dp[pos][pre][lim] = 1;//记忆化
		else return 1;//不做记忆化处理
	}
	int res = 0;
	int r = lim ? b[pos] : 9;
	int l = zero ? 1 : 0;
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		if (abs(i - pre) < 2) continue;
		res += dfs(pos - 1, i, lim && i == r, 0);//不是最高位，可以取0
	}
	if (!zero) return dp[pos][pre][lim] = res;//记忆化
	else return res;//不做记忆化处理
}

　　

同样，lim这一维也是可以删掉的

int dp[12][10]; // dp[pos][pre]
int dfs(int pos, int pre, bool lim,bool zero) {
	if (~dp[pos][pre]&&!zero&&!lim) return dp[pos][pre];
	if (!pos) {
		if (!zero&&!lim) return dp[pos][pre] = 1;//记忆化
		else return 1;//不做记忆化处理
	}
	int res = 0;
	int r = lim ? b[pos] : 9;
	int l = zero ? 1 : 0;
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		if (abs(i - pre) < 2) continue;
		res += dfs(pos - 1, i, lim && i == r, 0);//不是最高位，可以取0
	}
	if (!zero&&!lim) return dp[pos][pre] = res;//记忆化
	else return res;//不做记忆化处理
}

　　

那么pre这一维呢，思考一下，感觉不行

我试了一下，发现样例是过了，交一发试试，结果全wa了，看来对于这题来说还是不能删掉这一维

因为windy数涉及到pos的前一位数对pos这位数的影响，所以dp数组里和dfs的参数里都要有pre

而在有些其他题目里，比如 不要62，你甚至可以只开一维!! 用一维记忆化搜索!!

那么减维有什么用呢，减维虽然减少了空间，但记忆化的东西少了，就增加了时间,在空间本来就很充足的情况下，减维是不合适的

如果空间不够，可以考虑减维

有时候，dfs的参数里也可以删掉zero这一项，比如题目说前导零的数也是合法的，或者把题目看成是前导零的数也是合法的，并不影响最终的输出

gym102452J Junior Mathematician 2019ICPC 香港

这题我一开始想出来的是开一个dp[5000][10][60][60][60][2][2]     (dp[pos][pre][su][f(x)%m][x%m][lim][zero])  的数组

后来研究了好久题解才知道,这题把lim和zero两维删去了，同时这题不用考虑pre，dfs和dp数组里都没pre,同时dfs的参数也可以删掉zero这一项

根据具体的题意可以把 f(x) % m 和 x % m 合并成 ( f(x) - x ) % m

这样dp数组就变成了dp[5000][60][60] (dp[pos][su][mmm]  , mmm = ( f(x) - x ) % m)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long MOD = 1e9 + 7;
long long dp[5003][61][61];
int pp[5003];
int m;
int b[5003];
int tot = 0;
long long dfs(int pos, int su, int mmm,bool lim) {
	if (pos < 0) return 0;
	if (~dp[pos][su][mmm]&&!lim) return dp[pos][su][mmm];
	if (!pos && !lim) {
		if(!mmm) return dp[pos][su][mmm] = 1;
		return dp[pos][su][mmm] = 0;
	}
	if (!pos) {
		if (!mmm) return 1;
		return 0;
	}
	int l, r;
	l = 0;
	r = lim ? b[pos] : 9;
	long long res = 0;
	for (int j = l; j <= r; j++) {
		res += dfs(pos - 1, (su + j) % m, ((mmm - j * pp[pos] + j * su) % m + m) % m, lim && j == r);
	}
	res %= MOD;
	if (!lim) return dp[pos][su][mmm] = res;
	else return res;
}
long long qiu(string s,int len) {
	if (len < 2) return 0;
	for (register int i = 0; i <= len; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
			for (int k = 0; k <= m; k++) {
				dp[i][j][k] = -1;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= len; i++) {
		b[i] = s[len - i + 1] - '0';
	}
	for (; !b[len]; len--);
	long long res = 0;
	return dfs(len, 0, 0, 1);//删去zero这一参数后，就只需从第len位开始搜
}
int main()
{
	int T;
	pp[1] = 1;
	string A, B;
	cin >> T;
	while (T--) {
		cin >> A >> B >> m;
		for (int i = 2; i <= 5000; i++) pp[i] = pp[i - 1] * 10 % m;
		int lena = A.length();
		int lenb = B.length();
		A = " " + A;
		B = " " + B;
		A[lena]--;
		for (int i = lena; i; i--) {
			if (A[i] < '0') {
				A[i] += 10;
				A[i - 1]--;
			}
			else break;
		}
		cout << (qiu(B,lenb) - qiu(A,lena)+MOD)%MOD << endl;
	}
	return 0;
}

　　

附上这题dfs的参数里没删去zero的代码

long long dfs(int pos, int su, int mmm, bool lim, bool zero) {
	if (pos < 0) return 0;
	if (~dp[pos][su][mmm] && !lim && !zero) return dp[pos][su][mmm];
	if (!pos && !lim && !zero) {
		if (!mmm) return dp[pos][su][mmm] = 1;
		return dp[pos][su][mmm] = 0;
	}
	if (!pos) {
		if (!mmm) return 1;
		return 0;
	}
	int l, r;
	l = zero ? 1 : 0;
	r = lim ? b[pos] : 9;
	long long res = 0;
	for (int j = l; j <= r; j++) {
		res += dfs(pos - 1, (su + j) % m, ((mmm - j * pp[pos] + j * su) % m + m) % m, lim && j == r, 0);
	}
	res %= MOD;
	if (!lim && !zero) return dp[pos][su][mmm] = res;
	else return res;
}
long long qiu(string s, int len) {
	if (len < 1) return 0;
	for (register int i = 0; i <= len; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
			for (int k = 0; k <= m; k++) {
				dp[i][j][k] = -1;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= len; i++) {
		b[i] = s[len - i + 1] - '0';
	}
	for (; !b[len]; len--);
	long long res = 0;
	res = dfs(len, 0, 0, 1, 1);
	for (int i = len - 1; i > 1; i--) {
		res += dfs(i, 0, 0, 0, 1);//没删去zero这一参数，相当于要考虑前导零，就要加上这些		
	}
	res %= MOD;
	return res;
}