动态规划概述
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解，每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中，这就是动态规划法的基本思路。
装最多水的容器
给你 n 个非负整数 a1，a2，...，an，每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线，垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0)，找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。
说明：你不能倾斜容器，且 n 的值至少为 2。
示例：
输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49
说明：当容器的两边分别是8和7的时候，容器所能盛水最多，最大储水面积为：7 *（9-2）= 49。
问题分析
本题是一道经典的面试题，最优的做法是使用「双指针」。一开始两个指针一个指向开头一个指向结尾，此时容器的底是最大的，接下来随着指针向内移动，会造成容器的底变小，在这种情况下想要让容器盛水变多，就只有在容器的高上下功夫。那我们该如何决策哪个指针移动呢？
我们能够发现不管是左指针向右移动一位，还是右指针向左移动一位，容器的底都是一样的，都比原来减少了 1。这种情况下我们想要让指针移动后的容器面积增大，就要使移动后的容器的高尽量大，所以我们选择指针所指的高较小的那个指针进行移动，这样我们就保留了容器较高的那条边，放弃了较小的那条边，以获得有更高的边的机会。
这里用的就是动态规划，基本的表达式: areaMax = min(height[i], height[j]) * (j - i)。
示例分析
输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49
求解过程如下：
算法实现
public class TakeInWater {
public static void main(String[] args) {
int[] columns = {1,8,6,2,5,4,8,3,7};
int areaMax = maxArea(columns);
System.out.println("最大储水量：" + areaMax);
}
public static int maxArea(int[] height) {
if (height.length < 1) { // 检验参数正确性
return -1;
}
int left = 0; // 左指针
int right = height.length-1; // 右指针
int area = 0; // 最大储水量
while (left < right) {
int high = Math.min(height[left], height[right]); // 找到容器的储水高度
area = Math.max(area, high*(right-left)); // 最大储水量
// 按照最优策略，移动指针
if (height[left] < height[right]) {
left++;
}else {
right--;
}
}
return area;
}
}
运行结果：
参考资料：