Q1588所有奇数长度子数组的和

Q1588所有奇数长度子数组的和

题目描述

给你一个正整数数组 arr ，请你计算所有可能的奇数长度子数组的和。

子数组 定义为原数组中的一个连续子序列。

请你返回 arr 中 所有奇数长度子数组的和 。

示例一：

输入：arr = [1,4,2,5,3]
输出：58
解释：所有奇数长度子数组和它们的和为：
[1] = 1
[4] = 4
[2] = 2
[5] = 5
[3] = 3
[1,4,2] = 7
[4,2,5] = 11
[2,5,3] = 10
[1,4,2,5,3] = 15
我们将所有值求和得到 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58

解法思路

解法一 暴力算法

三重循环，时间复杂度O（n³)

public int sumOddLengthSubarrays(int[] arr) {
    int sum = 0;
    int n = arr.length;
    for (int i = 1; i <= n; i += 2) {
        for (int j = 0; j <= n - i; j++) {
            for (int k = j; k <= k + i - 1; k++) {
                sum += arr[k];
            }
        }
    }
    return sum;
}

解法二 前缀和

利用前缀和，能将时间复杂度降低为O（n²)

public int sumOddLengthSubArrays(int[] arr) {
        int sum = 0;
        int n = arr.length;
        int preSumNum = 0;
        int[] preSum = new int[n+1];
        preSum[0] = 0;
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            preSumNum += arr[i-1];
            preSum[i] = preSumNum;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i += 2) {
            for (int j = 0; j <= n - i; j++) {
                sum+=preSum[j+i]-preSum[j];
            }
        }
        return sum;
    }

解法三 数学

关键是统计arr[i]在奇数子数组中出现的次数。

arr[i]在奇数子数组中出现的条件是，在该数组中，arr[i]左右两侧数字个数的奇偶性相同。

我们知道arr[i]左侧有i个数，右侧有n-i-1个数，于是可以求得组合次数

位置i左边奇数个数的方案数为 (i+1)/2,右边奇数个数方案为(n-i)/2;

位置i左边偶数个数的方案数为 i/2,右边偶数个数方案为(n-i-1)/2;

• 考虑左右两边不选也属于合法的偶数个数方案数，因此在上述分析基础上对偶数方案数自增 11。

组合起来，arr[i]在奇数数组中出现的次数为k =(i+1)/2*(n-i)/2+ (i/2+1) * ((n-i-1)/2+1);

由此，可以得出时间复杂度为O（n¹)

public int sumOddLengthSubArrays(int[] arr) {
        int sum = 0;
        int n = arr.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int lo = (i + 1) / 2, ro = (n - i) / 2,
                    le = i / 2 + 1, re = (n - i - 1) / 2 + 1;
            sum += (lo * ro + le * re) * arr[i];
        }   
        return sum;
    }