给出一个数N,输出小于等于N的所有数,两两之间的最大公约数之和。
相当于计算这段程序(程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数):
G=0;
for(i=1;i<N;i++)
for(j=i+1;j<=N;j++)
{
G+=gcd(i,j);
}
Input
第1行:1个数T,表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行:每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)
Output
共T行,输出最大公约数之和。Input示例
3
10
100
200000
Output示例
67
13015
143295493160
首先明白题目求的是$sum_{i=2}^nsum_{j=1}^{i-1}gcdleft(i,j
ight)$
考虑$sum_{i=1}^{n-1}gcdleft(i,n
ight)$这种简化版问题
枚举$gcd(n,j)=t$,那么$gcd(frac{n}{t},frac{n}{j})=1$,则贡献为$tvarphileft(frac{n}{t}
ight)$
那么$sum_{i=1}^{n-1}gcdleft(i,n
ight)=sum_{tmid n,t
ot=n}tvarphileft(frac{n}{t}
ight)$
考虑完整版问题
$ans=sum_{i=2}^nsum_{tmid i,t
ot=i}tvarphileft(frac{i}{t}
ight)$
$=sum_{t=1}^nsum_{jtle n,t
ot=1}tvarphileft(j
ight)$
把答案弄成前缀和形式,这样就可以$Oleft(nlnn
ight)$跑一遍然后$Oleft(1
ight)$回答
#include <cstdio> const int maxn = 5000000 + 10; typedef long long ll; bool mark[maxn] = {false}; int pri[maxn], prn = 0; int phi[maxn]; ll ans[maxn]; void shai(){ phi[1] = 1; for(int i = 2; i < maxn; i++){ if(!mark[i]){ phi[i] = i - 1; pri[++prn] = i; } for(int j = 1; j <= prn && pri[j] * i < maxn; j++){ mark[i * pri[j]] = true; if(i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1); else{ phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j]; break; } } } ans[0] = 0; for(int i = 1; i < maxn; i++) for(int j = 2; i * j < maxn; j++) ans[i * j] += phi[j] * i; for(int i = 1; i < maxn; i++) ans[i] += ans[i - 1]; } int main(){ shai(); int T, n; scanf("%d", &T); while(T--){ scanf("%d", &n); printf("%lld ", ans[n]); } return 0; }