Problem I. Count

题意

给一个(n)，计算

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i + j, i - j) = 1] ]

题解

令(a = i - j)

要求

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i + j, i - j) = 1] ]

即求

[sum_{i=1}^{n}sum_{a=1}^{i-1}[gcd(2*i - a, a) = 1] ]

根据(gcd)的性质，即

[sum_{i=1}^{n}sum_{a=1}^{i-1}[gcd(2*i, a) = 1] ]

所以要求的就是(1)到(i-1)中，与(2*i)互质的数的个数。

令(sum[i])为(i)的欧拉函数(phi)的前缀和。结论是，对于奇数，答案就是(sum[i]/2)，对于偶数，答案是(sum[i])。

与(2*i)互质的数的个数，和(phi(i))（与(i)互质的数的个数）有什么关系呢？

如果(i)是奇数，那么(1)到(i-1)中与(i)互质的所有数中的奇数，都与(2*i)互质。而且这些数中，奇数占一半（为什么？因为对于任何一个奇数，小于它的和它互质的数，是以(k)和(n-k)的形式成对出现的。这两个数必然一奇一偶）。

如果(i)是偶数，那么(1)到(i-1)中与(i)互质的所有数，都与(2*i)互质。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define FOPI freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FOPO freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e7 + 5;

int phi[maxn], prime[maxn];
LL sum[maxn];
int tot = 0;

void getPhi(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!prime[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for (int j = 1; j <= tot; j++)
        {
            if (i*prime[j] > n) break;
            prime[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i*prime[j]] = prime[j] * phi[i];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]] = (prime[j]-1)*phi[i];
        }
    }
}

void init(int n)
{
    getPhi(n);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (i % 2 == 1)
            sum[i] = sum[i-1] + phi[i] / 2;
        else
            sum[i] = sum[i-1] + phi[i];
}

int t, n;
int main()
{
    init(2e7);
    scanf("%d", &t);
    for (int ca = 1; ca <= t; ca++)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%lld
", sum[n]);
    }
}