[学习笔记] 杜教筛

最近沉迷多项式很久了...突然遇到数论题发现不能不过脑子打出杜教筛了...

几十天前学的这玩意吧...比Min_25筛好理解多了...

式子挺容易推的, 放在这里以备快速查找吧

设我们要计算的是 $S(n)=sumlimits_{k=1}^nf(k)$, 其中 $f(x)$ 是一个积性数论函数, 则我们构造两个容易求和的积性函数 $h$ 和 $g$, 使它们满足:

$$h=f*g$$

于是我们推一推式子:

$$
egin {align}
sum_{i=1}^nh(i)&=sum_{i=1}^nsum_{d|i} g(d)fleft(frac i d ight)\
&=sum_{d=1}^ng(d)sum_{i=1}^{leftlfloor frac{n}{d} ight floor}f(i)\
&=sum_{d=1}^{n}g(d)cdot Sleft(leftlfloor frac n d ight floor ight )\
&=g(1)cdot S(n)+sum_{d=2}^{n}g(d)Sleft(leftlfloor frac n d ight floor ight )\\
g(1)S(n)&=sum_{i=1}^{n}h(i)-sum_{d=2}^{n}g(d) Sleft(leftlfloor frac n d ight floor ight )
end {align}
$$

数论题的本质就是枚举约数转枚举系数(倍数)

我们容易得到一个结论: 积性数论函数除了 $f(x)=0$ 之外都满足 $f(1)=1$, 于是我们就有了:

$$S(n)=sum_{i=1}^nh(i)-sum_{d=2}^ng(d)Sleft(leftlfloor frac n d ight floor ight )$$

然后递归下去算就可以了. 直接记忆化一下复杂度是 $O(n^{3/4})$ 左右?

其中一个原因大概是因为我们有下式:

$$ left lfloor frac { left lfloor frac n d ight floor} k ight floor = left lfloor frac n {kd} ight floor $$

实际上我们在记忆化的时候也就顺便把所有 $S(left lfloor frac n d ight floor)$ 处的值都求了. 而莫比乌斯反演也刚好用到的是这些值.

优化一下, 用线性筛预处理一下前 $n^{2/3}$ 个点的前缀和, 总复杂度就变成 $O(n^{2/3})$ 了.

记忆化的时候有个技巧, 因为有上面那个除法取整的式子, 所以所有大于 $sqrt n$ 且需要记忆化的点 $d$ 的 $left lfloor frac n d ight floor$ 值一定都不相等, 直接以下标 $left lfloor frac n d ight floor$ 存就可以了, 不需要Hash表.