[OI笔记]关于一类带∑的式子的快速求和

(S(n) = sumlimits_{i<=n} i^ka^i)

这个式子来源于SP19997。

鱼神的题解里提到，(S(n))这样的式子，可以写成更通用的形式：

(S(n) = sum f(i)a^i (i <= n),)在本题中，(f(i) = i^k)

同时也有一个窝不会证明的神仙结论：

存在一个次数不高于 (k) 的多项式 (g(x))，使得 (S(n)=a^ng(n)-g(0))

也就是说，我们只要知道(g(n))和(g(0)),就可以快速求出这个式子。

然后我们很容易推得 (g(n)=(g(n-1)+f(n-1))/a)

又因为(g(n))是(k)次多项式，所以(k+1)次差分后其必然是(0),即

(sumlimits_{i=0}^{k+1}(-1)^iinom{k+1}{i}g(k+1-i)=0)

然后设个未知数，把(g(0)...g(k))都解出来，就可以插值求出(g(n))了

然后就没了。

复杂度(O(k))

(upd) (on) (2020.4.28:)

为什么这个做法有时候会出锅呢(?)

主要是因为这个做法设未知数解方程的过程中可能出现

(ax=c,a=0,c eq 0)的情况或者(ax=c,a=0,c=0)的情况(.)

这时候一般来说是可以特判的(,)比如说当(f(i) = i^0 = 1)的时候就可以直接(O(k))插值做自然数幂和(.)