最长子序列问题

最长上升子序列LCS

    输入n及一个长度为n的数列，求出此序列的最长上升子序列长度。上升子序列指的是对于任意的i<j都满足ai<aj的子序列。（1<=n<=1000,0<=ai<=1000000）

样例输入：

5

4 2 3 1 5

样例输出：

3（最长上升子序列为2, 3, 5）

#include<iostream>
#include<algorithm>
const int N =1005;
using namespace std;
int shu[N];
int DP[N]; 
int main(){
	int m,n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>shu[i];
		DP[i]=1;//初始化DP距离数组 
	}
	int t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
		 for(int j=1;j<i;j++){
		 	if(shu[j]<shu[i]){
		 		DP[i]=max(DP[i],DP[j]+1);
			 }
			 t=max(t,DP[i]);
		 } 
  	}
	cout<<t;
	return 0;
}

题解：动态规划思想，定义一个数组dp[i]对应输入的数组，dp默认值为1（若数组是从大到小排列的 t为1），判断方法若shu[j]<shu[i]则为上升子序列的一部分所以dp[j]+1与dp[i]比较，找最大值，修改dp[i],结果最后遍历找最大值，当然边查边找最大值也行。
关于dp[j]+1和dp[i]的状态转换方程，有样例入手，如果出现dp[j]<dp[i]，那么dp[i]上不一定会变点的，若dp[i]>dp[j]那么肯定有dp[j]上的最大数量加上dp[i]条件必然也是满足的
所以说dp[j]+1要和dp[i]进行比较选择最大的作为dp[i]的最大上升子序列数量

最长公共子序列LCS

给定两个字符串s1和s2（长度均不超过1000），求出这两个字符串的最长公共子序列的长度。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
const int N=10010;
char s1[N],s2[N];
int dp[N][N];  //串s1的前i个字符 和 串s2的前j个字符的最长公共子序列长度
using namespace std;
int main(){
	int m,n;
	int len1,len2;
	while(scanf("%s",s1)!=EOF){
		
		scanf("%s",s2);
		 len1=strlen(s1);
		 len2=strlen(s2);
		 dp[0][0]=0;    //s1,s2都为空时 
		for(int i=1;i<=len1;i++)dp[i][0]=0;    //s2为空时   输出长度为0 
		for(int i=1;i<=len2;i++)dp[0][i]=0;     //s1为空时  输出长度为0 
		
		for(int i=0;i<len1;i++)        //注意循环的范围
		 for(int j=0;j<len2;j++){
		 	if(s2[j]==s1[i]){
		 		dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;    //当s1，s2对应的位置字符相等时更新 
			 }
			 else{
			 	dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);//其他情况 
			 }
		 }
		
		for(int i=1;i<=len1;i++)
        {
            for(int j=1;j<=len2;j++)
                printf("dp[%d][%d]=%d ",i,j,dp[i][j]);
            printf("
");
        }
	}
     cout<<dp[len1][len2];	
	return  0;
} 

注释：设一个二维的数组，dp[i][j]模拟s1....si，s2......sj的最长公共子序列，动态规划的方法解决问题当前状态和下一状态，生成装填转换函数，

dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1, ①//若出现相等

max(dp[i][j+1], dp[i+1][j]), ②//否则

有点小乱等我在思考思考

最大公共子串LCS

给定两个字符串s1和s2（长度均不超过1000），求出这两个字符串的最大公共子串的长度。
这个比上一个简单一些吧第二步的状态转换函数改为0 就行

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxlen=1010;
char s1[maxlen],s2[maxlen];
int dp[maxlen][maxlen];    //dp[i][j]为串s1的前i个字符和串s2的前j个字符的最大公共子串长度
int main()
{
    int i,j;
    int len1,len2,ret;     //ret记录结果
    while(scanf("%s",s1)!=EOF)
    {
        scanf("%s",s2);
        memset(dp,0,sizeof(dp));   //初始化：开始LCS长度均为0
        len1=strlen(s1);
        len2=strlen(s2);
        ret=0;
        for(i=0;i<len1;i++)
        {
            for(j=0;j<len2;j++)
            {
                if(s1[i]==s2[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                else
                    dp[i+1][j+1]=0;
                ret=max(ret,dp[i+1][j+1]);    //随时更新最大值
            }
        }
        printf("%d
",ret);
    }
    return 0;
}