定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
证 若G是平凡图，结论显然成立，下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图。并设G的顶点集V={v1,v2,…,vn}.
必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，设C为G中任意一条欧拉回路， vi,vj∈V，vi,vj都在C上，因而vi,vj连通，所以G为连通图。又 vi∈V，vi在C上每出现一次获得2度，若出现k次就获得2k度，即d(vi)=2k，所以G中无奇度顶点。
充分性，由于G为非平凡的连通图可知，G中边数m≥1.对m作归纳法。
(1)m=1时，由G的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而G为欧拉图。
(2)设m≤k(k≥1)时结论成立，要证明m=K+1时，结论也成立。由G的连通性及无奇度顶点可知，δ(G)≥2.类似于例14.8，用扩大路径法可以证明G中存在长度大于或等于3的圈，设C为G中一个圈，删除C上的全部边，得G的生成子图G'，设G'有s个连通分支G'1,G'2,…,G's，每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G'i与C的公共顶点为 ，i=1,2,…,s，由归纳假设可知，G'1,G'2,…,G's都是欧拉图，因而都存在欧拉回路C'i，i=1,2,…,s.最后将C还原（即将删除的边重新加上），并从C上的某顶点vr开始行遍，每遇到 ，就行遍G'i中的欧拉回路C'i，i=1,2,…,s，最后回到vr，得回路此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，因而它是G中的欧拉回路 （演示这条欧拉回路），故G为欧拉图。
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度顶点。
证 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为半欧拉图，因而G中存在欧拉通路（但不存在欧拉回路），设Г=vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路，vi0 ≠vim . v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶数，若v在端点出现过，则d(v)为奇数，因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。另外，G的连通性是显然的。
充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，对G加新边（u0,v0），得G'=G∪(u0,v0)，则G'是连通且无奇度顶点的图，由定理15.1可知，G'为欧拉图，因而存在欧拉回路C'，而C=C'- (u0,v0)为G中一条欧拉通路，所以G为半欧拉图。
由定理15.2立即可知，图15.1中（2）是半欧拉图，但（3）不是半欧拉图。
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈的并。
本定理的证明可用归纳法。（见练习题）
例15.1 设G是非平凡的且非环的欧拉图，证明：
（1）λ(G)≥2.
（2）对于G中任意两个不同顶点u,v，都存在简单回路C含u和v.
证 （1）由定理15.5可知， e∈E(G)，存在圈C，e在C中，因而p(G-e)=p(G)，故e不是桥。由e的任意性λ(G)≥2，即G是2边-连通图。
（2） u,v∈V(G)，u≠v，由G的连通性可知，u,v之间必存在路径Г1，设G'=G-E(Г1)，则在G'中u与v还必连通，否则，u与v必处于G'的不同的连通分支中，这说明在Г1上存在G中的桥，这与（1）矛盾。于是在G'中存在u到v的路径Г2，显然Г1与Г2边不重，这说明u,v处于Г1∪Г2形成的简单回路上。