数论讲义做题记录

数论讲义做题记录

这是为了熟悉定理写的，可能过程不是很规范……

第一章

1.证明(6mid{n(n+1)(2n+1)})，其中$n in mathbb{Z} $

设(t=6k+p)，(pin[0,5],pinmathbb{Z}) ，然后利用乘法取模的规律

2.证明任意(n)个连续整数中（(ngeqslant1)），有且仅有一个数被(n)除尽。

设(t=pn+q+k)，(qin [0,p])，由(q+k=tcdot n)

3.证明：若({m-p}mid(mn+qp))，则({m-p}mid(mq+np))

((mn+pq)-(m-p)(n-q))

4.证明：若(pmid (10a-b))和(pmid(10c-d))，则(pmid (ad-bc))

(A=10a-b)，(B=10c-d)，(pmid (cA-aB))

5.证明：若((a,b)=1)，则((a+b,a-b)=1)或(2)

设(t=(a+b,a-b))，则

[tmid (a+b)，tmid (a-b) ]

所以

[tmid 2a, tmid 2b, tmid (2a,2b) ]

所以

[tmid 2(a,b) ]

所以(t=1)或(t=2)

6.证明：若((a,b)=1)，则((a+b,a^2-ab+b^2)=1)或(3)

设(t=(a+b,a^2-ab+b^2))，则

[tmid a+b, tmid (a^2-ab+b^2) ]

因此

[tmid[(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)] ]

即

[tmid 3ab ]

下证((a+b,ab)=1)

因为((a,b)=1)，设存在质数(pmid (a+b,ab))，则(pmid ab, pmid (a+b))

由唯一分解定理，(pmid a)或(pmid b)

不失一般性地，设(pmid a)，由(pmid(a+b))得(pmid b)

因此(pmid(a,b))，与((a,b)=1)矛盾，因此不存在质数(pmid (a+b,ab))

因此((a+b,ab)=1)

由于

[(t,ab)=(a+b,a^2-ab+b^2,ab)=((a+b,ab),a^2-ab+b^2)=1 ]

因此(tmid 3)，所以(t=1)或(3)

7.证明：若方程(x^n+a_1x^{n-1}+cdots+a_n=0)（(n>0)，(a_i)是整数，(i=1,dots,n)）有有理数解，则此解必为整数。

设解为(x=frac{p}{q})，((p,q)=1,q>0)，代入方程得

[frac{p^n}{q^n}+a_1frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+a_2frac{p^{n-2}}{q^{n-2}}+cdots+a_n=0 ]

两边同乘(q^n)，得

[p^n+a_1p^{n-1}q+a_2p^{n-2}q^2+cdots+a_nq^n=0 ]

即

[p^n=-q(a_1p^{n-1}+a_2p^{n-2}q+cdots+a_nq^{n-1}) ]

所以(qmid p^n)，假设(q e 1)，由唯一分解定理，存在质数(r>1,rinmathbb{N_+})，使(rmid q)，因此(rmid p^n)

因为(r)是质数，所以(rmid p)（P8引理3）

所以(rmid (p,q))，所以(1<rleqslant (p,q))，与((p,q)=1)矛盾，所以(q=1)

所以解为整数

8.一个有理数(frac{a}{b})，当((a,b)=1)时叫做既约分数，证明：若两个既约分数(frac{a}{b},frac{c}{d})的和是一个整数，则(leftlvert b ight vert=leftlvert d ight vert)

设(p)是一个整数，且

[frac{a}{b}+frac{c}{d}=p ]

则

[frac{ad}{b}+c=pd,a+frac{cb}{d}=pb ]

因为(a,b,c,d,p)是整数，所以(pd-c)，(pb-a)是整数，所以(frac{ad}{b},frac{cb}{d})是整数

所以(bmid ad,dmid cb)，因为((a,b)=1,(c,d)=1)，所以(bmid d,dmid b)

所以(leftlvert b ight vertleqslantleftlvert d ight vert,leftlvert d ight vertleqslantleftlvert b ight vert)，所以(leftlvert b ight vert=leftlvert d ight vert)

9.如果一个整数不能被任一个素数的平方所整除则叫做无平方因子，证明：对每一个整数(ngeqslant1)，能唯一决定(a>0,b>0)使得(n=a^2b)，这里(b)无平方因子。

设(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}cdots p_t^{k_t})

设(a^2=p_1^{2k'_1}p_2^{2k'_2}p_3^{2k'_3}cdots p_t^{2k'_t})

设(b=p_1^{k''_1}p_2^{k''_2}p_3^{k''_3}cdots p_t^{k''_t})

因为(b)无平方因子，所以(forall iin{1,2,3,dots,t},k''_i mid 2)，所以(k''_i=0)或(1)

所以(forall iin{1,2,3,dots,t},2k'_i=k_i-k''_i)，(2mid(k_i-k''_i))

当(k_i)为奇数时，(k''_i=1)，当(k_i)为偶数时，(k''_i=0)，因此能唯一决定(b)

由(b)可以得出唯一的(a)

10.证明：若(b^2)是(n)的最大平方因子，则由(a^2mid n)，可推出(amid b)

= =整数唯一分解定理，但我不是为了数学竞赛，所以不写了……

11.给定(x)和(y)，若(m=ax+by)，(n=cx+dy)，这里(ad-bc=pm1)，证明：((m,n)=(x,y))

显然= =，((a,b)mid m, (a,b)mid n)，（贝祖定理可以推得）

又(exists t_1,t_2in mathbb{Z})使((m,n)=t_1m+t_2n)，因此((a,b)mid(m,n))

(cm-an=bcy-ady=pm y)，因此((m,n)mid y)（贝祖定理推论）

(dm-bn=adx-bcx=pm x)，因此((m,n)mid x)

因此((m,n)mid (x,y))

所以(leftlvert (m,n) ight vertleqslantleftlvert(x,y) ight vert,leftlvert(x,y) ight vertleqslantleftlvert(m,n) ight vert)

所以((m,n)=(x,y))（最大公因数当然是正的了= =）

12.证明：若(n>0)，(a^nmid b^n)，则(amid b)

整数唯一分解定理= =

14.证明：对于同样的整数(x)和(y)，(17mid2x+3y)的充要条件是(17mid9x+5y)

(Rightarrow)，设(t=2x+3y)，则(x=frac{t-3y}{2})，(9x+5y=frac{9t-17y}{2})

因为(x)是整数，所以(2mid 17-3y)，所以

[y=frac{2k+1}{3}，9x+5y=frac{frac{27t-34k-17}{3}}{2} ]

所以(17mid9x+5y)

(Leftarrow)，同理= =

15.设(5 mid d)，(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)，(g(x)=dx^3+cx^2+bx+a)，证明：若存在(m)，使(5mid f(m))，则存在(n)，使(5mid g(n))

(m=5k)时(f(m)equiv dpmod 5)，不合题意= =

(m=5k+1)时

[f(m)equiv a+b+c+dpmod 5，g(m)equiv d+c+b+apmod5 ]

(m=5k+2)时

[f(m)equiv 3a+4b+2c+dpmod 5，g(m)equiv 3d+4c+2b+apmod5 ]

(m=5k+3)时

[f(m)equiv 2a+4b+3c+dpmod 5，g(m)equiv 2d+4c+3b+apmod5 ]

(m=5k+4)时

[f(m)equiv 4a+b+4c+dpmod 5，g(m)equiv 4d+c+4b+apmod5 ]

(m=5k+1)时

取(n=m)，则(f(m)+g(n)equiv 0pmod5)，(5mid f(m)+g(n))，因为(5mid f(m))，所以(5mid g(n))

(m=5k+2)时

取(n=5k+3)，则(f(m)+2g(n)equiv 0pmod5)，(5mid f(m)+2g(n))，因为(5mid f(m))，所以(5mid 2g(n))，因为((5,2)=1)，所以(5mid g(n))

剩下的同理= =