UVA 11971 Polygon

https://vjudge.net/problem/UVA-11971

题目

有一根长度为$n$的木条，随机选$k$个位置把他们切成$k+1$段木条，求这些小木条能组成一个多边形的概率。

题解

能组成多边形可以转化为最长的木条长度小于剩余木条长度的和。

先证明任意的$n$边形都能通过合并两条边转化为一个$(n-1)$边形

如图，AE，DE可以构成AF，DC=CF，就可以减少一条边，一直减少，就可以得到一个三角形，反过来，三角形也可以拆成多边形

如果每次都选择最长的边，那么最后就能得到一个三角形。根据三角形组成的充要条件，就可以得到整个多边形最长的边小于其他边之和。

于是问题就变成了一个线段上面随机切$K$次，求最长的线段长度大于等于$frac{1}{2}$的概率。

那么只算在线段的1/2长度外面切

下面用了一个构造，先把线段拼成一个圆，然后只在圆的一半部分切，然后选一个端点拆成线段

概率就是$1-frac{1}{2}^K imes (k+1)$（此处存疑= =）

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define REP(i,a,b) for(register int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(register int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(register int i=(a); i>=(b); i--)
#ifdef sahdsg
#define DBG(...) printf(__VA_ARGS__)
#else
#define DBG(...) (void)0
#endif
#define ln log
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,k;
LL gcd(LL a, LL b) {
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main() {
	int T; scanf("%d", &T);
	int kase=0;
	while(0<T--) {
		scanf("%d%d", &n, &k);
		//(2^k-1+k)/(2^k)
		LL a=(1ULL<<k)-1-k;
		LL b=1ULL<<k;
		LL g=gcd(a,b);
		a/=g, b/=g;
		printf("Case #%d: %lld/%lld
", ++kase, a, b);
	}
	return 0;
}