UVA 11270 Tiling Dominoes

https://vjudge.net/problem/UVA-11270

题目

用$1 imes2$骨牌覆盖$n imes m$棋盘，有多少种方法？

$n imes m<101$

题解

棋盘已经填了的部分只能用考虑轮廓线表示清楚，不能只用行和列。轮廓线总共有$2^{宽}$种状态，因此需要把宽度尽量缩小。

令$nleqslant m$，可以得到$nleqslant 10$，所以轮廓线的状态有$2^{10}$种。

只在轮廓线的右下角放骨牌，并且保证轮廓线的上面是完全填满了的。比如下图这样的情况

每次轮廓线都会往右前进一格，那么就需要保证轮廓线第一位在前进后变成1

规定只允许对轮廓线进行修改，那么就有三种情况

• 不放
• 往左放
• 往上放

其中不放和往左放都要求第一位是1，往左放还要求最后一位是0且当前位置不是第一列。

往上放要求第一位是0

轮廓线的位置有$m imes n$种，状态有$2^{n}$种，其中位置可以滚动优化掉。

初始状态是$dp[0][(1<<n)-1]=1$，而dp[0]的其他状态因为都含0，导致在后面的某个时刻无法继续转移（第一排，不能往上放，也不能往左或不放），所以虽然会被用到，最后一定会被抛弃。

ac代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<cassert>
#define REP(i,a,b) for(register int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(register int i=(a); i<=(b); i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
int msk, hi;
ll dp[2][1<<10];
int main() {
	while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
		if(n>m) swap(n,m);
		msk = (1<<n)-1, hi=1<<(n-1);
		dp[0][msk]=1;
		int now = 0;
		REP(i,0,m) REP(j,0,n) {
			now^=1; memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));
			REPE(k,0,msk) {
				if(k&1) dp[now][k>>1]+=dp[now^1][k];
				if(i && !(k&1)) dp[now][(k>>1)|hi]+=dp[now^1][k];
				if(j && (k&1) && !(k&hi)) dp[now][((k|hi)>>1)|hi]+=dp[now^1][k];
			}
		}
		printf("%lld
", dp[now][msk]);
	}
}