Codeforces 10D LCIS

https://vjudge.net/problem/CodeForces-10D

题目

给两个序列，求他们的最长上升公共子序列。每个序列的长度小于等于500。

题解

设$dp[i][j]$为以$j$为结尾的最长上升公共子序列的长度，那么

当$a[i]==b[j]$时$displaystyle dp[i][j]=(max_{p<i,q<j,b[q]<b[j]} dp[p][q])+1$

当$a[i]!=b[j]$时$displaystyle dp[i][j]=max_{p<i} dp[p][j]$

这样时间复杂度是$O(n^4)$

可以通过数学归纳法，优化重复计算的max

先优化不等的部分，根据贪心可以知道p小答案不会更优，那么$dp[i][j]=dp[i-1][j]$

然后优化等于的部分，根据贪心可以知道p小答案不会更优，那么$displaystyle dp[i][j]=(max_{q<j,b[q]<b[j]} dp[i-1][q])+1$

然后在循环的时候，已经循环过一次j，可以在循环的时候记录$displaystylemax_{q<j,b[q]<b[j]} dp[i-1][q]$

为了输出结果，还需要记录每个位置的转移，然后倒过来输出就可以了（答案为0时不输出）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define REP(i,a,b) for(register int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(register int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(register int i=(a); i>=(b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
int dp[507][507], ch[507][507];
int a[507], b[507];
int n,m;
inline void go(int x) {
	if(~ch[n-1][x]) go(ch[n-1][x]);
	printf("%d ", b[x]);
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	REP(i,0,n) { scanf("%d", &a[i]); }
	scanf("%d", &m);
	REP(i,0,m) { scanf("%d", &b[i]); }
	memset(dp,0,sizeof dp);
	memset(ch,-1,sizeof ch);
	REP(i,0,n) {
		int k=-1, v=0;
		REP(j,0,m) {
			if(a[i]==b[j]) {
				//dp[i][j] = max(dp[i-1][1..j-1])+1 [b[k]<a[i]]
				dp[i][j] = v+1;
				ch[i][j] = k;
			} else {
				if(i) dp[i][j] = dp[i-1][j], ch[i][j]=ch[i-1][j];
			}
			if(i && b[j]<a[i]) {
				if(v<dp[i-1][j]) {
					v=dp[i-1][j];
					k=j;
				}
			}
		}
	}
	int ans=0, x=-1;
	REP(j,0,m) if(ans<dp[n-1][j]) {
		ans = dp[n-1][j];
		x = j;
	}
	printf("%d
", ans);
	if(ans) {
		if(~ch[n-1][x]) go(ch[n-1][x]);
		printf("%d", b[x]);
	}
	putchar('
');
}