CF 367C Sereja and the Arrangement of Numbers

https://codeforces.com/problemset/problem/367/C

题目

你有m种数字，每个数字有无穷个。你准备用这些数字来组成一个长度为n的数组a。要求

1. 如果选择了数字x和数字y，这两个数字在数组中至少有一个位置相邻：存在i，使a[i]=x且a[i+1]=y，或者，a[i]=y且a[i+1]=x

一个数组的价值由组成数组的数字的价值决定，第i种数字的价值为v[i]

空数组价值为0，考虑i从1到m，如果出现了第i种数字，数组的价值就会+v[i]

问如何组成数组才能使数组的价值最大

$1leqslant nleqslant 2 imes10^6, 1leqslant mleqslant 10^5$

$1leqslant v_ileqslant 10^5$

题解

将选择的数字画成图，所有数字都需要两两连接一条边，问题就转化为如何走最少的步数遍历所有的边

然后就转化为欧拉图的问题

能形成欧拉道路的充要条件是：最多有两个度数为奇数的点，其余都是度数为偶数的点

能形成欧拉回路的充要条件是：所有的点都是度数为偶数的点

如果不能形成欧拉道路或欧拉回路，我们就需要添加一些边，因为题目没有要求只出现一次相邻的数字，最后可以得到一个序列

n个数字构成的边数为

[frac{ncdot(n-1)}{2}]

每个点的度数是$n-1$

如果n是奇数，可以构成欧拉回路，数组长度等于边数

如果n是偶数，所有的点的度数都是奇数，n>2时需要添加$frac{n}{2}-1$条边，使$n-2$个点的度数+1，变成偶数，n=2时添加0条边，形成欧拉道路

这样肯定是符合要求的长度最小的数组，如果少1，没法遍历所有边，如果多1，肯定不是长度最小的

于是就可以$O(m)$得出最多的数字，然后贪心求和就行了

时间复杂度$mathcal{O}(mlog m)$

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define REP(i,a,b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
#define MAXM 100007
int arr[MAXM];
inline bool cmp(int a, int b) {return a>b;}
int main() {
	int n,m; scanf("%d%d", &n, &m);
	REP(i,0,m) scanf("%*d%d", &arr[i]);
	sort(arr,arr+m,cmp);
	int ch=-1; ll ans=0;
	PERE(x,m,1) {
		ll t=ll(x)*(x-1)/2;
		if((x&1)==0) t+=x/2-1;
		if(t<n) {ch=x;break;}
	}
	REP(i,0,ch) ans+=arr[i];
	printf("%lld
", ans);
}