BZOJ2306 [Ctsc2011]幸福路径[倍增]

这个有环的情况非常的讨厌，一开始想通过数学推等比数列的和，但是发现比较繁就不做了。

然后挖掘这题性质。

• 数据比较小，但是体力可以很接近1（恼怒），也就是说可能可以跳很多很多步。算了一下，大概跳了2e7次左右这个体力才缩到1e-14左右，这时已经几乎不会影响答案惹。也就是说，点比较少，有没有暴力做法？
• 发现从一个点假设满体力开始跳若干步，有最大价值的方案，如果前面一个点跳若干步过来，再在这个点以某个$x∈(0,1)$的体力开始，那么原来的最大的方案还是最大的，只要乘上一开始这个体力就好了。这说明答案可以用类似dp的方式逼近。

然后看这个跳非常多步还可以dp就反应到了倍增跳跃的模型。设$f[i][j][k]$为从$i$到$j$跳$2^k$步最大价值。然后可以倍增推了。

$f[i][j][k]=max { f[i][l][k-1] + p^{2^{k-1}}*f[l][j][k-1] } $

这个是$O(n^3 logn)$的，log那个是自己调的，25左右为宜。

由于是个人想的，所以实现上比较清奇。后来看了说本质就是个floyd。。感觉我理解还不够深入呃，如果谁知道为什么换一下枚举顺序就可以滚动了，烦请赐教。

另外有一个坑暂时不知道为什么，line34初始化要先给没有自环的连上自环，价值0。以后可能会请教别人这个地方，在座各位如果知道为什么这样还望不吝赐教。。

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2019.9.29 UPD：从神仙hkk处获取了为什么要给所有点都连自环$0$：如果是下面这组数据：

4 3

1 2 4 8

1 0.5

1 2

2 3

3 4

显然有问题。因为，这里的路是有尽头的，需要跳三步，而没办法有一个状态有效表示跳3步，不妨改变状态设计，设$f[i][j][k]$为从$i$到$j$跳最多$2^k$步最大价值。然后$f_{1,4,2}$就可以表示这个答案，而原来答案是没法表示的，但又因而引出这个$2^2$步的最后一步没办法再跳的问题，也就是在$4$号点没路了。这时候如果按照原来的dp方法，转移$f_{1,4,2}=f_{1,3,1}+p^2f_{3,4,1}$，但是这里的$f_{3,4,1}$按照新定义是可以有值的，如果直接用之前dp方程dp，会因为$f_{3,4,1}$没有值而出错，原因在于$f_{3,4,1}$最大时是$3 o 4$跳$2^0$步，满足新的定义，但是没法保留到$f_{3,4,1}$，这要求我们手动给$3$或者$4$添加一个0的自环保证可以按新定义正常转移。这样，就不会出现$2$的整数次方跳不完，后半截没有值而出错的情况。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<bitset>
#define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
const int N=102;
db f[N][N][26];
db fp[26],A[N],p,ans;
int n,m,s;
inline db fpow(db x,int k){db ret=1;for(;k;k>>=1,x*=x)if(k&1)ret*=x;return ret;}

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout);
    read(n),read(m);
    for(register int k=0;k<=25;++k)
        for(register int i=1;i<=n;f[i][i][k]=0,++i)
            for(register int j=1;j<=n;++j)
                f[i][j][k]=-0x3f3f3f3f;
    for(register int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&A[i]);
    read(s);scanf("%lf",&p);
    for(register int i=0;i<=25;++i)fp[i]=fpow(p,1<<i);
    for(register int i=1,x,y;i<=m;++i)read(x),read(y),f[x][y][0]=A[y]*p;
    for(register int k=1;k<=25;++k)
        for(register int i=1;i<=n;++i)
            for(register int l=1;l<=n;++l)
                for(register int j=1;j<=n;++j)
                    MAX(f[i][j][k],f[i][l][k-1]+fp[k-1]*f[l][j][k-1]);
    for(register int j=1;j<=n;++j)MAX(ans,f[s][j][25]);
    ans+=A[s];printf("%.1lf
",ans);
    return 0;
}