poj3696 The Luckiest number[欧拉定理]

注意到$L|frac{8(10^x-1)}{9}$等价于$9L|8(10^x-1)$，这个等价转化一定要记住！（是可以证两者互为充要条件的）

于是整理后有$frac{9L}{gcd(L,8)}|(10^x-1)$。

转化为同余方程来解决。

$10^x equiv 1 pmod{frac{9L}{gcd(L,8)}}$

注意先排除无解情况。也就是说，10和模数必须互质。

若gcd含$2$或者$5$，则肯定无解，很显然。

然后互质前提下发现$varphi(frac{9L}{gcd(L,8)})$一定是一个解。（欧拉定理）

于是解的范围被我们明确为了$(0,varphi(frac{9L}{gcd(L,8)})]$。

尝试随便找一个数$x$假设$10^x equiv 1 pmod{frac{9L}{gcd(L,8)}}$。

若模数$=qx+r$，$r$是小于等于$x$的一个余数

然后发现$10^{qx} equiv 1 pmod{frac{9L}{gcd(L,8)}}$，

又$10^{qx+r} equiv 1 pmod{frac{9L}{gcd(L,8)}}$。

则$10^r equiv 1 pmod{frac{9L}{gcd(L,8)}}$。

这个说明这个$x$必须是$varphi(frac{9L}{gcd(L,8)})$的约数才有可能是解，否则会有更小的解$r$。

于是乎查找范围进一步被缩小为根号个。于是就可以枚举约数检验了。

这题可以使用特殊的快速乘。（现学的）

UPD:当然直接上BSGS也可以。当时不会。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
ll L,p,phi,tmp,ans;
int T;
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void euler(){
    tmp=phi=p;
    for(register ll i=2;i*i<=tmp;++i)if(tmp%i==0){
        phi=phi/i*(i-1);
        while(tmp%i==0)tmp/=i;
    }
    if(tmp>1)phi=phi/tmp*(tmp-1);
}
inline ll mul(ll x,ll y){
    ll X=x*(y>>25)%p*(1<<25)%p;
    ll Y=x*(y&((1<<25)-1))%p;
    return (X+Y)%p;
}
//inline ll mul(ll a,ll b,ll mod){
//    return (a*b-(ll)((long double)a/mod*b)*mod+mod)%mod;
//}
inline ll fpow(ll x,ll k){ll ret=1;for(;k;k>>=1,x=mul(x,x))if(k&1)ret=mul(ret,x);return ret;}

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout);
    while(read(L)){
        p=9*L/gcd(L,8);
        if(p%2==0||p%5==0){printf("Case %d: 0
",++T);continue;}
        euler();ans=1e15;
        for(register ll i=1;i*i<=phi;++i)if(phi%i==0){
            if(fpow(10%p,i)==1){ans=i;break;}
            if(fpow(10%p,phi/i)==1)MIN(ans,phi/i);
        }
        printf("Case %d: %lld
",++T,ans);
    }
    return 0;
}