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  • BZOJ2118 墨墨的等式[同余类最短路]

    声明:关于这题的$O(mn)$尚且未深入理解,虽然之前有跟这位神仙聊过做法但并没太懂。。


    $O(mnlog m)$同余最短路做法:

    首先不妨抽出最小的$a_i=m$,那么剩余的$a$如果可以表示出$x$,那么$x+km$的所有数都可以表出。所以对于$m$的同一个同余类$iin[0,m)$,我们希望求出$f_i=min{h|hmod m=i}$其中$h$是可以用其他$a$表出的,也就是用其他东西来表示出最小的、可以$mod m=i$的数,这样,所有$h+km(kin N)$都可以表示,而所有$h+km(k<0)$都不能表示。要求出这个数组,就需要使用这个同余类最短路算法,由背包DP的思路,对于其他一个不是$m$的$a$可以有$f_{(i+a)mod m}=min(f_i+a)$,也就是希望由其他最小值推得。那么对于$i o (i+a)mod m$建一条边权$a$的边,$f_0=0$,这样$f_i$如果要最小表示出来就是要从$f_0$找一条路到达他,加上路上边权最小,这个跑一遍最短路即可。

    不过,有$m$个点,每个点有$n$个连边(有向),总边数$mn$,这个复杂度是$O(mnlog m)$的。由于O2dij优秀的常数所以可过。。。但是实际存在一种更快的$O(mn)$解法,我暂不甚理解,要先咕咕咕了。

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<cstring>
     4 #include<algorithm>
     5 #include<cmath>
     6 #include<queue>
     7 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
     8 using namespace std;
     9 typedef long long ll;
    10 typedef double db;
    11 typedef pair<ll,int> pii;
    12 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
    13 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
    14 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;}
    15 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;}
    16 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
    17 template<typename T>inline T read(T&x){
    18     x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    19     while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
    20 }
    21 const int N=5e5+7;
    22 struct thxorz{int to,nxt,w;}G[N*11];
    23 int Head[N],tot;
    24 int n,m,a[13],c=1145141919;
    25 ll L,R,ans;
    26 inline void Addedge(int x,int y,int z){G[++tot].to=y,G[tot].nxt=Head[x],Head[x]=tot,G[tot].w=z;}
    27 priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
    28 ll dis[N];
    29 #define y G[j].to
    30 inline void dij(){
    31     memset(dis,0x3f,sizeof dis);q.push(make_pair(dis[0]=0,0));
    32     while(!q.empty()){
    33         int x=q.top().second;ll d=q.top().first;q.pop();
    34         if(d^dis[x])continue;
    35         for(register int j=Head[x];j;j=G[j].nxt)if(MIN(dis[y],d+G[j].w))q.push(make_pair(dis[y],y));
    36     }
    37 }
    38 #undef y
    39 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout);
    40     read(m),read(L),read(R);
    41     for(register int i=1,x;i<=m;++i)read(x),x&&MIN(c,a[++n]=x);
    42     for(register int i=0;i<c;++i)
    43         for(register int j=1;j<=n;++j)if(a[j]^c)Addedge(i,(i+a[j])%c,a[j]);
    44     dij();//for(register int i=0;i<c;++i)printf("%d %d
    ",i,dis[i]);
    45     for(register int i=0;i<c;++i)ans+=(dis[i]<=R?1+(R-dis[i])/c:0)-(dis[i]<=L-1?1+(L-1-dis[i])/c:0);
    46     return printf("%lld
    ",ans),0;
    47 }
    View Code

    PS:由于图不是特殊构造的,所以spfa速度更快,但是是不是复杂度$O(mn)$我也不知道。。


    20191008UPD

    国庆期间由于某种机缘,我把这题不理解的$O(mn)$解法向$ ext{zzq}$老师询问,然后可能是有一些明白了。。。

    上面提到用$f$表示同余最小的表示数,其实就是类似于一个无限背包。每个新的$a_i$可以去刷表,也就是以前的$f_{i-1,j}$,然后不断的刷,各个$a$之间应当是相互独立的,更新顺序无所谓,并且每个$a$连边应当形成一些环,这些环也相互独立,是“全等”的。不过由于是环形的特殊结构,不能直接用背包的方法刷表,分析一下发现最小的那个不会被更新,于是找到每个环上最小的那个,开始向后做常规的无限背包,做一圈。zzq提出的方法是直接无脑绕两圈更新,实际上都是一样的道理。code的话。。不想写了。。可以参考上面那个神仙的代码。

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