BZOJ2278 [Poi2011]Garbage[欧拉回路求环]

首先研究环上性质，发现如果状态不变的边就不需要动了，每次改的环上边肯定都是起末状态不同的边且仅改一次，因为如果有一条边在多个环上，相当于没有改，无视这条边之后，这几个环显然可以并成一个大环。所以，我们只关注起末状态不同的边。

然后，这些边形成一张图。对于每个连通块，如果有解的话，应当是一堆边不相交的简单环通过点互相连接的。这样一张图等价于一个欧拉回路，所以只要判每个连通块是不是欧拉回路（偶数度）即可。

然后是求解，目标就是把每个连通块所有的简单环都拎出来。回顾上述欧拉回路判断，实际上正是因为若干简单环构成的图可以一笔画。。所以仿照一笔画过程（也就是栈中记录的访问点顺序），再开一个栈，不断压栈，当遇到一个先前已经压到栈的点的时候说明形成了一个简单环，一直弹栈直到先前点为止，这时弹出元素就构成了一个环。。这样所有环就出来了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define mst(x) memset(x,0,sizeof x)
#define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
#define dbg2(x,y) cerr<< #x <<" = "<< x <<"  "<< #y <<" = "<< y <<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;}
template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
const int N=1e5+7,M=1e6+7;
struct thxorz{
    int head[N],to[M<<1],nxt[M<<1],tot;
    thxorz(){tot=1;}
    inline void add(int x,int y){
        to[++tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot;
        to[++tot]=x,nxt[tot]=head[y],head[y]=tot;
    }
}G;
int deg[N],stk[M],vis[M<<1],bin[M],bcnt,top,st[N],tp,instk[N];
int n,m,cnt;
#define y G.to[j]
void dfs(int x){//dbg(x);
    for(register int&j=G.head[x];j;j=G.nxt[j])if(!vis[j])vis[j]=vis[j^1]=1,bin[++bcnt]=j,dfs(y);
    stk[++top]=x;
}
#undef y
vector<int> ans[M];
int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout);
    read(n),read(m);
    for(register int i=1,x,y,z,w;i<=m;++i){
        read(x),read(y),read(z),read(w);
        if(z^w)G.add(x,y),++deg[x],++deg[y];
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)if(deg[i]&1){puts("NIE");return 0;}
    for(register int i=1;i<=n;++i)if(G.head[i]){
        dfs(i);tp=0;//dbg(i);
        while(bcnt)vis[bin[bcnt]]=vis[bin[bcnt]^1]=0,--bcnt;
        while(top){
            int x=stk[top--];//dbg(x);
            if(!instk[x])instk[x]=1,st[++tp]=x;
            else{
                ans[++cnt].push_back(x);
                do instk[st[tp]]=0,ans[cnt].push_back(st[tp--]);while(st[tp]^x);
                ans[cnt].push_back(x);
            }
        }
    }
    printf("%d
",cnt);
    for(register int i=1;i<=cnt;++i,puts("")){
        printf("%d ",ans[i].size()-1);
        for(register int j=0;j<ans[i].size();++j)printf("%d ",ans[i][j]);
    }
    return 0;
}

总结：这题启示我们在有关简单环的问题中，除了点双、边双等等转化策略以外，在涉及环的方面也可以采用欧拉路来考虑。总之，解决环相关的问题大概就是点双、边双、欧拉路以及栈的思想、dfs以及二分图染色等方法。