NOIP2015DAY2T2子串

描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串A和B。现在要从字符串A中取出k个互不重叠的非空子串，然后把这k个子串按照其在字符串A中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串B相等？注意：子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。

【数据规模与约定】 对于第1组数据：1<=n<=500，1<=m<=50，k=1; 对于第2组至第3组数据：1<=n<=500，1<=m<=50，k=2; 对于第4组至第5组数据：1<=n<=500，1<=m<=50，k=m; 对于第1组至第7组数据：1<=n<=500，1<=m<=50，1<=k<=m; 对于第1组至第9组数据：1<=n<=1000，1<=m<=100，1<=k<=m; 对于所有10组数据：1<=n<=1000，1<=m<=200，1<=k<=m。

输入

输入文件名为substring.in。 第一行是三个正整数n，m，k，分别表示字符串A的长度，字符串B的长度，以及问 题描述中所提到的k，每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为n的字符串，表示字符串A。 第三行包含一个长度为m的字符串，表示字符串B。

输出

输出文件名为substring.out。 输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。由于答案可能很大，所以这里要求输 出答案对1,000,000,007取模的结果。

样例输入[复制]

样例1：
6 3 1
aabaab
aab

样例2：
6 3 2
aabaab
aab

样例3：
6 3 3
aabaab
aab

样例输出[复制]

样例1：
2

样例2：
7

样例3：
7

 

 

这道题我一开始看到也知道是dp，但是看到这个数据范围我就直接虚了

数组都开不下

但我暂时抛开这个东西不管，不计空间成本的话实际上状态是很容易出来的

首先有点基础知道这是个三维dp，状态f[i][j][k]代表A串前i个字符，已经匹配了B串j个字符，当前已经使用k次子串的方案数

显然貌似一个方程就出来了

对于当前的i,j来说，往后转移的条件显然是当前的a[i]==b[j]，我们从最长公共子序列可以知道这一点

f[i][j][k]=f[i-1][j-1][k-1]+f[i-1][j-1][k]

这个式子的意思是当前的决策可以是单独成为一串，或者与前面的合并成一串

正如luogu里面的题解说的一样，这个方程的问题在于如果相等了就必须匹配进去，可能不使用后面也有选择，如果你不匹配直接沿用前面+f[i-1][j][k]的话会出现重复计数的问题（至少写完代码我是这么认为的，有错希望指正）

 

看完题解之后发现要设两个数组f[i][j][k]与s[i][j][k]，第一个数组代表选或者不选当前的字符的方案数，第二个是必须选的方案数

 

为了分解问题我们先看s[i][j][k]的转移方法，当然前提还是a[i]=b[j]

s[i][j][k]由于必须要选进去，则只用考虑是单独成为一串或者是与前面连在一起

注意如果是前者因为前面的状态我不知道，我只知道我现在是用了一个字符单独成为一串，前面的用没用我不知道，所以应该是f[i-1][j-1][k-1],代表不确定性

后者由于与前面是连在一起的所以前面的也会被使用，所以应该是s[i-1][j-1][k]

总的下来方程就是

s[i][j][k]=f[i-1][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k]

显然如果a[i]!=b[j]的话直接s[i][j][k]就是0

接下来我们考虑f[i][j][k]的转移，前提还是一样的

由于我现在的决策已经变成了选或者不选的问题了，已经与匹不匹配无关了

如果我选择这个进行匹配的话，如果是使用当前的字符，我们就要加上一定使用这个字符的方案数s[i][j][k]，如果你说我选上并不匹配怎么办？注意如果本身不匹配那么s[i][j][k]是0，选上没有意义

如果我们选择不用的话，自然就直接由上一个状态转移过来f[i-1][j][k]

方程就是

f[i][j][k]=s[i][j][k]+f[i-1][j][k]

为什么我们这个没有判断说是a[i]==b[j]?因为与匹配无关，我们关心的是选上去的方案数的贡献和不选的贡献，为什么我们不在s里面解决？因为选与不选是一个状态，自成一家或者与前面混合又是一个状态，两个状态不能混在一起！！

最后发现数组不够用啊，我们尝试滚掉一维

为什么我们能滚掉一维？因为在写循环的时候我们是按i作为第一维，而第一维i使用完之后只会对i+1做出贡献，就是背包问题，于是我们就复用数组

至于滚掉一维数组后后面的循环顺序就应该倒过来，因为你要用之前的状态，如果你正向就会用到刚算好的状态造成重复（这也是多重背包的原理），就可以覆盖前面

还是照例总结一下

这道题其实告诉我如果有多个不同的状态（红字）就应该尝试分开他们来进行讨论，不要固执于使用一个数组，这些状态是交融但是不完全等同的，应该及时分开处理

记得取模

代码在下面了：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
char a[100000],b[10000];
int f[1000][1000];
int s[1000][1000];const int mod=1000000007;
int main() {
    int n,m,k;
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];
    for(int i=1; i<=m; i++)cin>>b[i];
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=1;j--){
            for(int l=k;l>=1;l--){
                if(a[i]==b[j])s[j][l]=f[j-1][l-1]+s[j-1][l];
                else s[j][l]=0;
                s[j][l]%=mod;
                f[j][l]=f[j][l]+s[j][l];
                f[j][l]%=mod;
                //cout<<s[j][l]<<" "<<f[j][l]<<" "<<j<<" "<<l<<endl;
            }
        }
    } 
    cout<<f[m][k];
    return 0;
}

一道好题啊