10.08 特教的理性愉悦 树上预处理乱搞+式子推理

Description

某正教授级特级教师忽然想自娱自乐。于是他准备在纸上画一棵树。这棵树开始时只有N个点，然后特教开始逐条画上一些带权无向边（保证任意时刻纸上的任意两点间至多有一条路径），直到最后形成一棵树。
为了达到理性愉悦的目的，特教在加边的过程中可能会随意选取两个点并取出连接它们的路径，计算该路径上所有点对距离之和（如果已经有路径连通）。1--[5]--2--[3]--3--[2]--4(说明：[]内为边长)，共有 (1, 2)(1, 3)(1, 4)(2, 3)(2, 4)(3, 4)六个点对，距离之和为 5+8+10+3+5+2 = 33。现在特教需要检验他的答案是否正确，于是想请你编个程序帮他验算一下。

Input

第一行为两个正整数 N , M ，表示树的点数和操作数。
第二行开始的 M 行为 M 个操作的具体内容，分为两种：
(1)“1 u v w”，表示加一条连接 u 和 v 的边，边权为w；
(2)“2 u v”，表示询问当前树上u到 v 的路径上所有点对距离之和，如果还不连通则输出-1。
输入数据保证加边合法，u!= v,边权w为正整数，且其中恰有N-1 个(1)操作以及至少1个（2）操作，即 M>=N

Output

对于每个(2)操作输出一行，表示询问的结果。

Sample Input

Sample Output

 

Hint

 

 

 

 

 

 

题解：这题我写了5个小时。。。。。OTZ

维护一个func数组代表根节点到该点的dis之和

维护g数组代表一个点到他各个父亲的距离之和

用一个sumg维护树上g的前缀和

dep维护深度，f维护父亲

然后我们对于询问的区间显然可以以lca作为分界线

显然就产生了跨过lca的值和在单边求和值

跨过lca的话，

对于每个统计，合并同类项的话可以得到一个跨过去的总值公式：

 long long kua=sizright*(func[x]-func[father]-sizleft*dis[father])+sizleft*(func[y]-func[father]-sizright*dis[father]); 

注：这里的father就是lca

然后对于每一边来说就要用到g数组了，画图来理解更容易一点

不难看出方程是

long long ownleft=sumg[x]-sumg[father]-g[father]*sizleft+dep[father]*dis[father]*sizleft-dep[father]*(func[x]-func[father]);
long long ownright=sumg[y]-sumg[father]-g[father]*sizright+dep[father]*dis[father]*sizright-dep[father]*(func[y]-func[father]);

所以总值就出来了，加在一起

code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 300006 
using namespace std;
struct node {
    long long u,v,w;
} e[N],q[N];
long long fa[N];
long long n,m;
long long find(long long x) {
    if(x!=fa[x])return fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void merge(long long x,long long y) {
    long long f1=find(x),f2=find(y);
    if(f1!=f2) {
        fa[f1]=f2;
    }
}
long long first[N],nxt[N],cnt;
void add(long long u,long long v,long long w) {
    e[++cnt].u=u;
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    nxt[cnt]=first[u];
    first[u]=cnt;
}
long long dep[N],f[N][30];
long long lca(long long x,long long y) {
    if(dep[y]>dep[x])swap(x,y);
    for(long long i=19; i>=0; i--) {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
            x=f[x][i];
        if(x==y)return y;
    }
    for(long long i=19; i>=0; i--) {
        if(f[x][i]==f[y][i])continue;
        x=f[x][i],y=f[y][i];
    }
    return f[x][0];
}
long long dis[N],func[N],g[N],sumg[N];
void dfs(long long x) {
    for(long long i=first[x]; i; i=nxt[i]) {
        long long v=e[i].v;
        if(v==f[x][0])continue;
        dep[v]=dep[x]+1;
        f[v][0]=x;
        dis[v]=dis[x]+e[i].w;
        func[v]=func[x]+dis[v];//这个数组是用来记录这个点上面所有父亲到根节点的距离和
        g[v]=g[x]+dep[v]*e[i].w;
        sumg[v]=sumg[x]+g[v];
        dfs(v);
    }
}
long long tot; 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(long long i=1; i<=n; i++)fa[i]=i;
    for(long long i=1; i<=m; i++) {
        long long op;
        cin>>op;
        if(op==1) {
            long long u,v,w;
            cin>>u>>v>>w;
            add(u,v,w);
            add(v,u,w);
            merge(u,v);
        } else {
            long long u,v;
            cin>>u>>v;
            q[++tot].u=u;
            q[tot].v=v;
            if(find(u)!=find(v)) {
                q[tot].w=1;
            }
        }
    }
    f[1][0]=1;
    dep[1]=0;
    dfs(1);
//    for(long long i=1;i<=n;i++){
//        cout<<"num->"<<i<<"  dep->"<<dep[i]<<"  dis->"<<dis[i]<<"  father->"<<f[i][0]<<"  func->"<<func[i]<<"  g->"<<g[i]<<"  sumg->"<<sumg[i]<<'
';
//    }
    for(long long i=1; i<=20; i++) {
        for(long long j=1; j<=n; j++) {
            f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
        }
    }
    for(long long i=1; i<=tot; i++) {
        long long ans=0;
        if(q[i].w) {
            cout<<-1<<'
';
            continue;
        }
        long long u=q[i].u,v=q[i].v;
        long long father=lca(u,v);
        long long x=u,y=v;
    //    cout<<"x->"<<u<<"  y->"<<v<<"  lca->"<<father<<"  sizleft->"<<dep[x]-dep[father]<<"  sizright->"<<dep[y]-dep[father]<<endl;
        long long sizleft=dep[x]-dep[father],sizright=dep[y]-dep[father];
        long long kua=sizright*(func[x]-func[father]-sizleft*dis[father])+sizleft*(func[y]-func[father]-sizright*dis[father]);
        //cout<<g[x]-g[father]-dep[father]*(dis[x]-dis[father])<<'
';
        long long ownleft=sumg[x]-sumg[father]-g[father]*sizleft+dep[father]*dis[father]*sizleft-dep[father]*(func[x]-func[father]);
        long long ownright=sumg[y]-sumg[father]-g[father]*sizright+dep[father]*dis[father]*sizright-dep[father]*(func[y]-func[father]);
        cout<<kua+ownleft+ownright<<'
';
        //long long kuaright=
        //long long kua=kualeft+kuaright;
        //cout<<"kua->"<<kua<<endl;    
        //cout<<ans<<'
';
    }
}
/*sumg[x]-sumg[lca]-sizzuo*g[lca]-dep[lca]*f[x]+sizzuo*dep[lca]*dis[lca];
sizyou*(f[x]-f[lca]-sizzuo*dis[lca])+sizzuo(f[y]-f[lca]-sizyou*dis[lca]);*/

over！