数学

线性代数导论 - #12 向量空间的衍生：矩阵空间、微分方程的解、图

• 凡是可以进行加法和数乘运算的对象，我们都可以将其视为向量。
• 凡是对加法和数乘封闭的集合，我们都可以将其视为空间。
• 分析空间时，我们着眼于其维度和基。

矩阵空间：把矩阵视为向量

矩阵空间的维度与基

一般地，空间内（即符合某些数量关系）的某个矩阵中独立的元素的个数等于该矩阵空间的维度。

找独立元素时可将所有元素都设为元，利用数量关系进行消元至元数最少。

e.g.

• dim (All 3*3 Matrices) = 9
• dim (All 3*3 Symmetric Matrices) = 6
• dim (All 3*3 Upper Matrices) = 6
• dim (All A that A is a 2*3 matrix, v= (left[ egin{matrix} 2\1\1 end{matrix} ight]) and Av=0) = 4

找出独立元素后，我们将其数量关系体现在基中（拆分线性组合至单元相加，提出元将其变为常数(C)），其余的元素不妨效仿Gauss消元法置为0。

e.g.

The basis of … is

• All 3*3 Matrices: (C_1)(left[ egin{matrix} 1&0&0\0&0&0\0&0&0 end{matrix} ight]) + … +(C_9)(left[ egin{matrix} 0&0&0\0&0&0\0&0&1 end{matrix} ight])
• All A: (C_1)(left[ egin{matrix} 1&0&-2\0&0&0 end{matrix} ight]) + (C_2)(left[ egin{matrix} 0&-1&1\0&0&0 end{matrix} ight]) + (C_3)(left[ egin{matrix} 0&0&0\1&0&-2 end{matrix} ight]) + (C_4)(left[ egin{matrix} 0&0&0\0&-1&1 end{matrix} ight])

矩阵空间的交集与“合集”

dim A + dim B = dim (A ∩ B) + dim (A + B)

A + B 中的 + 定义为：从A、B所含向量中各自任取一个向量相加。

Q: 为什么不是 A ∪ B ？

A: A ∪ B 中所有的矩阵不能构成空间，而A + B 可以。

秩1矩阵：rank = 1 的矩阵A

特性

1. 行（列）向量之间呈倍数关系
2. A = UV，其中U为任一列向量，V为任一行向量

用途

大矩阵可以分解为秩1矩阵。具体分解方法将在以后的内容中介绍。

微分方程的解：把函数视为向量

e.g. $dfrac{d^2 y}{d x^2} + y = 0 $

易得: (y_1=cosx), (y_2 = sinx)

(y_1) 和 (y_2) 可以视作基，维数为2（原因未知）

那么解空间可以表示为: (y=C_1cosx + C_2sinx)

这也恰是特解、通解。

图：

图的概念

Graph = { Nodes, Edges }

Small World Graph

图的两个任意节点之间最远的距离是多少？将在以后的内容中解答。